DZIEJE RELIGII, FILOZOFII I NAUKI

indeks  |  antologia religijna  |  antologia filozoficzna  |  filozofia nauki

Wojciech Sady: wykłady

Galileo Galilei

Rozmowy i dowodzenia matematyczne

w zakresie dwóch nowych umiejętności dotyczących mechaniki i ruchów miejscowych

Discorsi e demostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla Mecanica i Movimenti Locali (1638)
Przełożył F.K. Wydawnictwo Kasy im. Mianowskiego, Instytut Popierania Nauki, Warszawa, Pałac Staszica, 1930.

DZIEŃ PIERWSZY

DZIEŃ DRUGI

DZIEŃ TRZECI
O ruchu jednostajnym

DZIEŃ CZWARTY
O ruchu pocisków

DZIEŃ PIERWSZY

Proporcjonalność wielkości i wytrzymałości budowli i maszyn - Moc i wytrzymałość belki drewnianej, jednym końcem wpuszczonej w mur - Olbrzymy w świecie roślinnym i zwierzęcym - Ciekawy wypadek pęknięcia kolumny marmurowej - Przyczyny spójności cząstek materiału - Tarcie włókien jednych o drugie - Wytrzymałość lin - Przyrząd do spuszczania się po linie na rękach bez uszkodzenia dłoni - Przyleganie gładkich tafli objaśniane wstrętem natury do próżni - Próżnia nie wystarcza do objaśnienia spójności - Pomiar siły próżni - Wysokość podnoszenia wody ze studzien - Wytrzymałość drutu miedzianego na rozciąganie - Próba objaśnienia spójności nieskończenie małymi próżniami - Kurczenie się liny zmoczonej - Toczenie wieloboków i kół współśrodkowych po dwóch stycznych równoległych - Miska i ostrokrąg - Ilości skończone i nieskończone - Niemożność porównań w dziedzinie nieskończoności - Szeregi liczb kolejnych i kwadratów z tych liczb - Jedność jako liczba nieskończona - Linia prosta jako koło nieskończone - Jedność, ciecz, proszek - Zwierciadło palące - Prędkość światła - Podział linii na nieskończenie wiele części - Zgęszczanie i rozrzedzanie ciał - Cienkość pozłoty na drucie srebrnym - Powierzchnie walców tej samej objętości - Objętości walców jednakiej powierzchni - Powierzchnia koła i wieloboku izoperymetrycznego - Koło, wielobok na nim opisany i z nim izoperymetryczny - Zgęszczanie i rozrzedzanie - Potępienie nauki Arystotelesa o spadku ciał - Unoszenie się ciał w wodzie - Unoszenie się w wodzie i pływanie zwierząt - Spójność cząstek wody; tworzenie się kropli - Rozpuszczanie się wina czerwonego w wodzie - Spadek w próżni i w ośrodku opornym - Ciężar powietrza - Wahadło i jego izochronizm - Szmery przy tarciu - Opór przy ruchu ciała zależy od jego powierzchni - Ruch jednostajny osiągany w ośrodku opornym - Spadek po łuku trwa krócej niż po cięciwie - Prawa ruchu wahadła - Rozchodzenie się drgań - Interwały akustyczne - Zgodność i niezgodność dźwięków

Rozmawiający: SALVIATI, SAGREDO i SIMPLICIO

Rozmowy zaczynają się od rozważań nad wytrzymałością belek drewnianych, kolumn kamiennych i lin.
Po wstępnych rozważaniach rozmówcy przechodzą do pytania, co naadaje ciałom spoistość.

(...)

SALVIATI: Jestem na usługi Waszmościów, jeżeli tylko zdołam sobie przypomnieć wszystko, czego się nauczyłem od naszego Akademika, który wiele rozmyślał o tych rzeczach i zawsze na podstawie swojej metody geometrycznej, tak że nie bez racji możnaby to nazwać nową umiejętnością. Więc, jakkolwiek niektóre zasady przez innych, a najpierw przez Arystotelesa były wywiedzione, to jednak tu są najpiękniejsze i najcenniejsze niewątpliwie podstawy ze wszystkiemi dowodzeniami. Tymi też mogę was przekonać i nie potrzebuję zajmować was rzeczami prawdopodobnymi, gdyż początki mechaniki są wam znane, o ile się na nich trzeba będzie opierać. Przede wszystkiem rozpatrzmy co się dzieje, gdy łamiemy kawałek drzewa, lub jakieś inne ciało, którego cząstki mocno są ze sobą związane, gdyż tu znajdziemy pierwszą i najprostszą zasadę, na której wszystko polega. Dla lepszego zrozumienia bierzemy pod uwagę (rys. 1) walec lub graniastosłup AB, z drzewa lub innego materiału, mocnego i spójnego, umocowany swym górnym końcem w A, wiszący pionowo i obciążony u spodu ciężarem C. Jakakolwiek jest jego wytrzymałość i spójność międzycząsteczkowa, byleby tylko nie była nieskończona, to można ją zawsze pokonać ciężarem C, jeżeli przypuścimy, że ten ciężar można dowolnie powiększać, tak że walec zostanie rozerwany, jak powróz. A tak jak w powrozie przypuszczamy, że wytrzymałość pochodzi z włókien, z których lina się składa, to również drzewo składa się z włókien, mianowicie z długich słojów, które czynią drzewo wytrzymałym na rozerwanie w większym stopniu, niż włókna powrozu tej samej grubości. W walcu kamiennym lub metalowym wytrzymałość zależy od innego środka, wiążącego cząstki jedne z drugimi, ale i taki walec się rozrywa przy mocnem rozciąganiu.

SIMPLICIO: Skoro tak się mają rzeczy, jak mówicie, to rozumiem, że słoje drzewa, równie długie jak samo drzewo, nadają mu wytrzymałość na rozerwanie; ale dlaczego lina, której pojedyncze włókna mogą mieć najwyżej 2 do 3 łokci długości, może mieć 100 łokci długości i wytrzymywać rozciąganie? Pragnąłbym także poznać wasz pogląd na spoistość między cząstkami metalu lub kamienia lub innego materiału, nie złożonego z włókien, który jednak, jeżeli się nie mylę, może być jeszcze wytrzymalszy.

SALVIATI: Nowymi rozważaniami, więcej odległymi od naszego przedmiotu, będziemy mogli się zająć, skoro rozwiążemy całkowicie napotkane dotąd trudności.

SAGREDO: Jeżeli jednak zboczenie z drogi prowadzić nas może do poznania nowych prawd, co nam przeszkadza zboczyć, skoro nie jesteśmy zmuszeni postępować według ściśle ograniczonej metody i możemy nasze rozmowy prowadzić według upodobania - i dlaczego nie mamy się zatrzymywać nad spotkanymi kwestiami, które mogą się już drugi raz nie przedstawić? Następnie: kto wie, czy nie trafimy właśnie na takie rzeczy, które są bardziej interesujące i piękniejsze od wniosków, do jakich doszliśmy na początku. Toteż proszę Waszmość o zastosowanie się do życzenia p. Simplicia a zarazem i mojego, gdyż pragnąłbym zaraz wiedzieć, jakie jest wiązadło, łączące tak mocno cząstki ciał stałych, że wydają się ostatecznie nierozerwalnemi: wiadomość ta jest potrzebna dla objaśnienia spoistości między cząstkami włókien, z których składają się ciała.

SALVIATI: Rozważajmy więc dalej, skoro tak chcecie. Pierwsza trudność była: jak mogą włókna liny o długości stu łokci (gdy same nie mają więcej niż 2 do 3 łokci), przylegać tak mocno do siebie, że tylko wielką siłą mogą być rozerwane. Ale powiedz mi, Waszmość p. Simplicio, czy nie potrafisz trzymać tak mocno palcami pojedynczego włókna konopnego za jeden koniec, że, ciągnąc je za drugi koniec, prędzej je rozerwę, aniżeli je wam z ręki wyciągnę. Jeżeli więc włókno konopne ściskane jest tak mocno przez swe otoczenie, nie tylko na końcach, ale na całej swej długości, czyż to nie jest przyczyną, że oderwanie włókna od tego otoczenia staje się trudniejsze od przerwania samego włókna. Skręcanie liny tak przyciska włókna jedne do drugich, że przy jak najmocniejszem wyciąganiu liny raczej się łamią, aniżeli oddzielają od siebie: jak przekonać się można, otrzymując w miejscu rozerwania liny krótkie końce włókien nie mające ani łokcia długości, jakby to miało miejsce, gdyby lina rozrywała się nie wskutek rozdarcia włókien, ale ich oddzielenia się od włókien otaczających.

SAGREDO: Na potwierdzenie tego mogę dodać, że nieraz lina się przerywa nie wskutek rozciągania wzdłuż, ale nadzwyczaj mocnego skręcania; dowodzi to, że włókna są w linie wzajemnie tak ściskane, że naciskające nie pozwalają naciskanym na jak najmniejsze wyślizgnięcie, konieczne do wydłużenia skrętów, aby mogły linę wkoło otoczyć; gdyż przy skręcaniu lina się skraca i wskutek tego nieco grubieje.

 (...)

SALVIATI: (...) spójność między częściami tych ciał zależy od różnych okoliczności, które zdaniem mojem sprowadzają się do dwóch, jedną jest tak sławiony wstręt natury do tworzenia próżni, a drugą stanowi (gdy pierwsza nie wystarcza) środek wiążący, lepki i kleisty, który cząstki ciała mocno ze sobą wiąże. Najpierw zajmijmy się próżnią i wykażmy jasnymi doświadczeniami, jaka i jak wielka jest jej własność. Weźcie, proszę, dwie tafle z marmuru, metalu lub szkła, ściśle płaskie, gładkie i mogące się przesuwać jedna po drugiej. Jeżeli jedną na drugą położymy, to łatwo je można przesuwać (oczywiście gdy ich żaden klej nie wiąże), przy odejmowaniu wszakże jednej od drugiej ujawnia się taki opór, że podnoszona tafla górna zatrzymuje przy sobie dolną, choćby wielką i ciężką. Dowodzi to widocznie wstrętu natury do tworzenia próżni, choćby na krótki czas, która by powstała, zanim ją wypełni powietrze otaczające. Widzimy także, że, gdy tafle nie są gładko wypolerowane, tak że zetknięcie ich nie jest zupełne, to przy powolnym ich rozłączaniu nie można zauważyć żadnego oporu, jak tylko wywołany ciężarem zdejmowanej tafli, ale przy szybkim zdejmowaniu wierzchniej tafli, zrazu przylega do niej jeszcze tafla dolna, by opaść po chwili; trzyma się bowiem tylko tyle czasu, ile potrzeba na wyjście małej ilości powietrza znajdującego się między taflami, niezupełnie ściśle przylegającemi i umożliwienie wejścia nowej ilości powietrza. Opór ten, ujawniający się tak dotykalnie między taflami, ma miejsce także między cząstkami ciała stałego i przynajmniej w części stanowi przyczynę ich spójności.

SAGREDO: Proszę, zatrzymajcie się i pozwólcie mi zauważyć jedną okoliczność, która właśnie przychodzi mi na myśl: mianowicie, skoro dolna tafla podniesiona zostaje przez górną, zwłaszcza przy bardzo szybkim zdejmowaniu ostatniej, to wydaje mi się jasne, że wbrew mniemaniu filozofów, a zwłaszcza Arystotelesa, ruch w próżni nie mógłby natychmiast nastąpić; bo gdyby tak było, to musiałyby obie tafle bez żadnego oporu się rozłączyć, gdyż ten sam czas winien wystarczać, aby się od siebie oderwały i aby próżnia, między nimi wytworzona, wypełniona została przez powietrze otaczające. Zatem z tego, że dolna tafla nie oddzieliła się, wnioskować należy: że w próżni ruch nie może powstać w jednej chwili i że między taflami tworzy się próżnia, krótki czas przynajmniej, ten właśnie, który upływa podczas ruchu pomiędzy wejściem a wyjściem otaczającego powietrza - i dalej, że gdy żadna próżnia nie powstaje, to nie może być mowy o ruchu powietrza otaczającego. Należy przeto powiedzieć, że właśnie przez gwałtowność ruchu a przeciw prawu natury powstaje czasem próżnia (jakkolwiek sądzę, że nic nie może się dziać przeciw naturze, chyba to, co jest niemożliwe, a to też nigdy się nie dzieje). Tu wszakże spotykam inną trudność, mianowicie tę, że jakkolwiek badanie przekonuje mnie o prawdziwości wniosku, umysł wszakże nie jest całkowicie zadowolony z przyczyny, której należy przypisać ten skutek. Bo rozdzielenie obu tafli następuje przed powstaniem próżni, która jako skutek wytwarza się po nim; a ponieważ, jak mi się zdaje, przyczyna, jeżeli nie następuje równocześnie z działaniem, winna je poprzedzać i pozytywny skutek winien odpowiadać pozytywnej przyczynie, to nie pojmuję, jak przyczyną przylegania obu tafli i oporu, jaki one stawiają rozdzielaniu, więc działań, które już są aktualne, może być próżnia, której jeszcze nie ma i która dopiero ma powstać. Rzeczy zaś, których nie ma, nie mogą wywierać żadnego działania, zgodnie z niezachwianem orzeczeniem Filozofa.

SIMPLICIO: Jeżeli przyjmujecie tę zasadę Arystotelesa, to spodziewam się, że nie będziecie przeczyli innej pięknej jego zasadzie, a mianowicie następującej: natura nie bierze się do tworzenia tego, co się opiera swemu powstaniu: i w tej zasadzie tkwi rozwiązanie naszej zagadki, gdyż próżnia sama przez się opiera się swemu powstaniu, a jednocześnie natura wzbrania się uczynić to, co mogłoby wytworzyć próżnię; to właśnie ma miejsce przy rozłączaniu tafli.

SAGREDO: Kwestia, jaką podniosłem, rozwiązana zostaje przez uwagę p. Simplicia, a wracając do zawiązku naszej rozmowy, wydaje mi się, że opór stawiany wytworzeniu próżni stanowi wystarczającą podstawę spoistości między cząstkami ciała stałego, czy to będzie kamień, metal, albo inny materiał jeszcze mocniejszy. Bo jeżeli każde działanie ma zawsze swoją przyczynę, jak to zawsze myślałem, albo też skoro można wykryć kilka przyczyn, to te wszystkie sprowadzić się dają do jednej: więc dlaczegoż by tu próżnia, która na pewno się wytwarza, nie miałaby stanowić podstawy wystarczającej wszystkich objawów wytrzymałości.

SALVIATI: Nie będę się obecnie zajmował kwestią, czy sama próżnia, bez innej pomocy, wystarcza do spojenia cząstek ciała stałego; ale twierdzić mogę, że ta przyczyna, która wprawdzie istnieje i wystarcza do objaśnienia przylegania tafli, nie tłumaczy dostatecznie wytrzymałości walca marmurowego albo metalowego, który, silnie rozciągany, w końcu ustępuje i pęka. A jeżeli znajdę sposób rozróżnienia rozpoznanego już oporu, pochodzącego z próżni, od wszelkich innych, jakiekolwiek one są, razem z nim tworzących spójność ciał i jeżeli będę wam mógł wykazać, że żadna główna przyczyna sama jedna nie wystarcza do wytworzenia tego skutku, to przyznacie, że trzeba tu wprowadzić inną. Pomóżcie mu, p. Simplicio, bo p. Sagredo jest w niepewności co do odpowiedzi.

SIMPLICIO: Pewno wstrzymanie się p. Sagredo ma inną przyczynę, bo nie można mieć wątpliwości co do tak jasnego i koniecznego wniosku.

SAGREDO: Odgadłeś, panie Simplicio. Myślałem o tym, czy, jeżeli milion złota rocznie, jaki przychodzi z Hiszpanji na opłacenie żołnierzy, nie wystarcza, to potrzeba zrobić inny zapas pieniędzy dla utrzymania armii. Ale mów pan dalej, p. Salviati, przyjmując, że zgadzam się na wniosek, do jakiego dochodzisz i pokaż nam sposób oddzielenia działania próżni od innych działań, a mierząc próżnię, pokaż, jak ona się zmniejsza przez działanie, o którym mowa.

SALVIATI: Bądźcie więc dobrej myśli. Zakomunikować Wam pragnę, w jaki sposób potęga próżni może być oddzielona od innych sił i jak ją można zmierzyć. Dla jej wyosobnienia weźmy pod uwagę ciało, które sile dążącej do rozerwania jego cząstek nie stawia innego oporu jak tylko próżnię, a nasz akademik dowiódł w swoim traktacie, że takim ciałem właśnie jest woda. Jeżeli więc tak umieścimy walec z wody, aby można było wykazać jego wytrzymałość na rozerwanie, to ta wytrzymałość nie będzie miała innej przyczyny, jak tylko opór stawiany przez próżnię. Dla wykonania takiego doświadczenia obmyśliłem przyrząd, który rysunkiem łatwiej niż słowami mogę wam przedstawić. Niech będzie CABD (rys. 4) przekrój cylindra metalowego lub szklanego, którego wnętrze byłoby jak najregularniej obtoczone i do tego wnętrza przylegał ściśle wałek pełny z drzewa EFGH, mogący się posuwać w cylindrze i mający w środku otwór, przez który przechodzi zatyczka żelazna, zakrzywiona u spodu K, a mająca na wierzchu zgrubienie ostro-kręgowe l, zamykające ściśle lejkowaty wierzch otworu w wałku pełnym, gdy zatyczka pociągnięta zostanie do dołu. W cylindrze próżnym AD jest więc tłok drewniany EH nie dochodzący na 2 do 3 palców do wierzchu cylindra. Cylinder, postawiony spodem do góry, wypełniony zostaje wodą, która wchodzi przez otwór wokół zatyczki l, gdy ta jest trochę wepchnięta do środka, a przez tenże otwór wychodzi powietrze. Po wyjściu wszystkiego powietrza, przez pociągnięcie zatyczki zamykamy szczelnie otwór i wtedy odwracamy cylinder i zawieszamy na haczyku naczynie, do którego możemy sypać tyle piasku lub innego ciężaru aż się w końcu powierzchnia tłoka EF oderwie od wody. Ponieważ trzymały się one tylko siłą oporu próżni, przeto po zważeniu tłoka, drutu i naczynia otrzymamy wielkość tego oporu. Jeżeli na walcu marmurowym lub szklanym zawiesimy tyle ciężaru, ile waży takiż walec wody i dodamy jeszcze tyle, że razem z ciężarem marmuru mieć będziemy ciężar wszystkich wymienionych obciążeń, to, gdyby wtedy nastąpiło rozerwanie, moglibyśmy przyjąć za rzecz niewątpliwą, że próżnia stanowi jedyną przyczynę wytrzymałości marmuru. Skoro wszakże pod tym ciężarem ani pod cztery razy większym, nie można rozerwać marmuru, to należy wnioskować że opór próżni wynosi tylko piątą część ogólnej wytrzymałości, a jej reszta jest cztery razy większa od oporu próżni.

SIMPLICIO: Nie można przeczyć, że wynalazek jest dowcipny, zauważyłem wszakże wiele trudności, które mi przedstawiają rzecz całą jako wątpliwą; któż bowiem zapewni, że powietrze nie przechodzi przez szkło lub tłok, jakkolwiek są one uszczelnione pakułami lub inną materją ściślejszą; a następnie, choćby koniec I zatyczki zamykał ściśle rozszerzenie ostrokręgowe otworu, wypadłoby je może wysmarowaó woskiem lub terpentyną. Dlaczego by zresztą cząstki wody nie miały się rozchodzić i rozrzedzać; dlaczego by nie wchodziło powietrze albo inne pary lub substancje, subtelniejsze od porów drzewa a nawet szkła?

SALVIATI: Nader zręcznie przedstawia nam p. Simplicio trudności, po części dając nam sposoby ich usunięcia, zwłaszcza co się tyczy przechodzenia powietrza przez drzewo i szkło. Zaznaczę wszakże, że możemy jednocześnie uważać, jako nabyte, nowe wiadomości, jeżeli powyższe trudności istotnie mają miejsce. Bo gdyby woda, choćby przy użyciu siły, była z natury swej rozciągliwa, jak się to dzieje z powietrzem, to ujrzelibyśmy, że tłok się opuszcza; a gdybyśmy w górnej części cylindra szklanego urządzili w środku zagłębienie, jak w V, to zbierać się tam będzie wszelka materia subtelna, przechodząca przez pory drzewa lub szkła, albo też powietrze przechodzące przez tłok. Gdy wszakże nie widzimy tego, to musimy uważać doświadczenie za wykonane z całą ścisłością i uznać, że woda nie jest rozciągliwa, a szkło jest nieprzenikliwe nawet dla najsubtelniejszych substancji.

SAGREDO: Ja zaś cieszę się, że z tej rozprawy wyłoniła się przyczyna zjawiska, które mi się przez długi czas wydawało cudowne i niepojęte. Obserwowałem studnię, na której dla czerpania wody ustawił ktoś pompę, w nadziei otrzymania wody z mniejszym trudem, a w większej ilości, niż przy użyciu zwykłych wiader. Pompa ta miała tłok i wentyl tak wysoko umieszczone, że podawała wodę przez ssanie a nie przez tłoczenie, jak pompy mające takie urządzenie u spodu. Pompa dostarczała wody obficie, gdy poziom w studni dochodził do pewnej wysokości, skoro wszakże poziom się obniżał, pompa przestawała działać. Sądziłem zrazu, zaobserwowawszy taki przypadek, że pompa zepsuta i uprzedziłem majstra dla naprawy, ten wszakże zapewnił mnie, że nie ma żadnego braku a tylko woda zbyt nisko stojąca w studni nie może być podawana na taką wysokość; nadmienił, że ani pompy ani inne maszyny, podnoszące wodę przez ssanie, nie mogą jej podnosić ani na włos wyżej niż 18 łokci i czy pompa będzie szeroka czy wąska, to taka będzie zawsze najwyższa granica podnoszenia. A ja dotychczas nie wiedziałem, że podobnie jak sznur, drzewo lub szkło, łatwiej jeszcze słup wody się rozrywa, gdy jest rozciągany działaniem własnego ciężaru. Cóż bowiem innego rozciągamy w pompie jeżeli nie walec pełen wody u góry umocowany i wciąż wydłużany, aż dojdziemy do granicy, przy której dalsze wydłużenie rozrywa walec wodny jak sznur.

SALVIATI: Rzecz się ma tu w ten sam sposób i ponieważ właśnie 18 łokci stanowi tę granicę, przy której każda ilość wody, w rurze szerokiej czy wąskiej lub jak najwęższej, tak wąskiej jak słomka, może być podnoszona, to będziemy zawsze, bez względu na to, czy przekrój będzie większy lub mniejszy, mieli wartość oporu jaki stawia próżnia w słupie utworzonym z jakiejkolwiek materii, gdy tylko grubość słupa jest taka, jak wewnętrzne światło rury. l jakkolwiek wiele już mówiliśmy o tym, to jeszcze zaznaczę, jak łatwo znaleźć można, do jakiej długości ma dochodzić słup, czy to drut czy sztaba dowolnej grubości, aby się rozrywała pod działaniem własnego ciężaru. Weźmy np. drut miedziany, jakiejkolwiek długości, przytwierdźmy jego górny koniec gdziekolwiek i obciążajmy coraz więcej koniec dolny, aż dopókąd drut się nie przerwie. Jeżeli się przerwie przy pięćdziesięciu funtach obciążenia, to jasne jest, że pięćdziesiąt funtów miedzi, dodane do własnego ciężaru drutu, wynoszącego zaledwie 1/8 uncji, i wyciągnięte w takiż sam drut, dadzą długość maximalną drutu miedzianego, mogącego wytrzymać własny ciężar. Zmierzmy więc, jaka jest długość tego drutu, który się przerywa. Jeżeli ma jeden łokieć długości, to ponieważ waży1/8 uncji i unosi nadto 50 funtów miedzi, które stanowili 4800 ósmych części uncji, to wynika stąd, że drut miedziany, jakiejkolwiek grubości może utrzymać swój ciężar własny, o ile jego długość nie przenosi 4800 łokci i dalej że pręt miedziany, aby mógł utrzymać swój ciężar do tej długości, winien mieć wytrzymałość tyle razy większą od oporu próżni, ile razy jego ciężar jest większy od ciężaru pręta wodnego tej samej grubości, a długości 18 łokci. A ponieważ miedź jest 19 razy cięższa od wody, przeto część wytrzymałości pochodząca od oporu próżni wynosi tyle, ile ciężar 2 łokci pręta tejże grubości. Tak samo obliczyć można długość każdego sznura, liny lub innego materiału, mogącą utrzymać własny ciężar oraz część wytrzymałości, jaka w tym przypada na próżnię.

SAGREDO: Pozostaje jeszcze abyście wyjaśnili, z czego się składa pozostała część wytrzymałości, albo, co to jest za środek wiążący czy zlepiający, który utrzymuje w zetknięciu cząstki ciała stałego, oprócz tego, który polega na próżni. Nie mogę bowiem wyobrazić sobie takiego kleju, który by w wielkim ogniu nie spalił się lub nie zniszczył w ciągu 2, 3 i 4 miesięcy a nawet 10 lub 100. Gdyż srebro, złoto lub szkło, pozostawszy tak długo roztopione, po oziębieniu wracają do stanu stałego i do poprzedniej spoistości cząstek. Nadto tez samą trudność, którą mam w spoistości cząstek szkła, będę znów miał przy rozważaniu spoistości cząstek kleju, lub innego środka wiążącego.

SALVIATI: Powiedziałem przed chwilą: bądźcie dobrej myśli i jeszcze o to się troszczę, i jeszcze odczuwam ręką, że to niewątpliwie opór próżni nie pozwala rozdzielić dwóch tafli, jak tylko z wielkim wysiłkiem i że dwie duże połowy słupa z marmuru lub brązu trzymają się razem jeszcze mocniej. Nie sadzę też, aby to mogło polegać na spójności najmniejszych cząstek, aż do najdrobniejszych tej materii. Każde zaś działanie musi mieć pewną istotną i główną przyczynę a ja, nie znajdując innego środka wiążącego, dlaczegóż bym nie miał się starać o zbadanie, czy może jednak sama próżnia będzie tu wystarczająca dla objaśnienia?

SIMPLICIO: Ponieważ dowiedliście, że opór wielkiej próżni, przy rozrywaniu wielkich części ciała stałego, jest bardzo mały w porównaniu ze spoistością małych cząsteczek, dlaczegóż nie chcecie przyjąć za niemniej pewne, że ten opór jest czemś rożnym od próżni?

SALVIATI: Na to odpowie p. Sagredo, że jednak wszystkich pojedynczych żołnierzy płaci się pieniędzmi, które zbiera się przez ogólne podatki w soldach i denarach, podczas gdy miliona złota potrzeba na opłacenie całej armii. I kto wie, czy inne maleńkie próżnie nie działają właśnie przy najmniejszych cząsteczkach, tak że wszędzie taż sama moneta trzyma wszystkie części złączone. Powiadam wam to, co mi w tej chwili przychodzi na myśl i nie podaję tego jako prawdę absolutną, lecz jako pomysł jeszcze nie przetrawiony, pozostawiając go głębszej rozwadze. Weźcie z niego, co się wam podoba, a resztę osądźcie jak chcecie. Gdy widziałem wielokrotnie, jak ogień przebywa wężykiem między najmniejszymi cząstkami metalu, które mocno się ze sobą trzymały, a w końcu się rozpadały i jak potem, wyjęte z ognia wracały do pierwotnej spoistości, przy czym ilość złota zupełnie się nie zmniejszyła, a bardzo mało przy innych metalach i to po długim czasie pozostawania roztopionymi; myślałem wtedy, że się to dzieje w ten sposób, że najmniejsze cząstki ognia wchodzą w ciasne pory metalu (do których, z powodu ich szczupłości, ani powietrze ani żaden inny płyn wejść nie może); tym sposobem mogłyby być wypełnione najmniejsze próżnie między cząstkami, co by zwolniło najmniejsze cząstki siły, z którą się te próżnie wzajemnie przyciągają i sprzeciwiają rozsuwaniu; gdy przez to cząstki mogą się swobodnie poruszać, masa staje się płynną i pozostaje taką dopóty, dopóki ogień ją przenika; gdy zaś ten ustaje, pozostają pierwsze próżnie i wraca przyciąganie wiążące ze sobą cząstki. Na zarzut zaś p. Simplicia można odpowiedzieć, że jakkolwiek te próżnie są bardzo małe, a więc opór każdej z nich z łatwością może być przezwyciężony, to jednak niezliczona ich liczba mnoży niezliczenie (że się tak wyrażę) wytrzymałość; jaka zaś i jak wielka siła powstać może z olbrzymiej liczby bardzo słabych, razem złączonych momentów, o tym sądzić można przez analogię, wiedząc jak ciężar miljona funtów, wiszący na bardzo grubej linie konopnej, obniża się, ale w końcu zostaje przezwyciężony, gdy w konopie wchodzą niezliczone cząstki wody, które albo wiatr południowy przynosi, albo też, które jak delikatne chmurki unoszone są przez powietrze. Przeciskają się one od jednego włókna do drugiego w najściślejszej linie, i nawet zawieszony olbrzymi ciężar nie może im wzbronić dostępu: tak się przeciskają przez cienkie szpary i zgrubiają linę, skręcając ją, przez co podniesiony być może największy ciężar.

SAGREDO: Nie ma zatem wątpliwości, że skoro pewien opór nie jest nieskończenie wielki, to może być zawsze pokonany przez wielką liczbę bardzo małych sił; tak że nawet pewna liczba mrówek może wciągnąć na ląd okręt naładowany zbożem; możemy bowiem obserwować codziennie, jak jedna mrówka niesie ziarno; na okręcie zaś nie ma nieskończonej liczby ziarn, a tylko znajduje się ich tam pewna liczba, którą pomyśleć nawet można cztery lub sześć razy większą; może więc pewna liczba mrówek wciągnąć okręt ze zbożem na ląd. To prawda, że trzeba, aby ta liczba była bardzo wielka, ale też sądzę, że i pory w metalach są również bardzo liczne.\

SALVIATI: Uważaliście jednak za niemożliwe, żeby ich liczba była nieskończoną.

SAGREDO: Nie, skoro tylko metal jest masą skończoną, inaczej ...

SALVIATI: Inaczej co? Ale skoro już doszliśmy do paradoksów, zobaczmy, czy nie moźna by dowieść jakim sposobem, że na pewnej skończonej długości ciągłej może się znajdować nieskończenie wiele próżni. Zobaczymy jednocześnie, czy się nie znajdzie, jeśli już nie co innego, to przynajmniej przybliżone rozwiązanie najwięcej zadziwiającego zadania, zaliczonego przez Arystotelesa do godnych podziwu, a dodam, należących do mechaniki; rozwiązanie to mogłoby być nie mniej zadowalające, jak jego własne, a jednocześnie odmienne od rozwiązania uczonego monsignora di Guevara. Najpierw wszakże trzeba podać twierdzenie, nie tknięte przez innych, od którego zależne jest rozwiązanie zadania i z którego, jeśli się nie mylę, dadzą się wyciągnąć inne wiadomości nowe i godne podziwu. Dla ściślejszego zrozumienia narysujmy figurę. (rys. 5) Niech będzie równoboczny i równokątny wielobok, o jakiejkolwiek liczbie boków, ze środkiem w G. Mamy więc sześciokąt ABCDEP, w który wpiszemy drugi współśrodkowy HIKLMN. Przedłużmy bok AB większego wieloboku do S i odpowiednio bok HI mniejszego w tym samym kierunku, tak że HT będzie równoległe do AS, wreszcie przez środek G poprowadźmy równoległą GV. Gdy to jest zrobione, toczmy wielobok większy, razem z małym, po linii AS. Jasne jest, że w początku toczenia, B stoi w miejscu, A się podnosi, a C obniża zakreślając łuk CQ, dopóki się bok BC nie położy na linii AS, jako BQ = BC. Przy tym obrocie wszakże, wierzchołek l małego wieloboku wzniesie się ponad linię IT, bo IB jest nachylone względem AS, a I nie wcześniej dojdzie do równoległej IT, aż gdy C dojdzie do Q: wtedy I padnie na O, po opisaniu łuku I0, ponad HT a IK zajmie położenie OP. Ale środek G będzie tymczasem w ruchu ponad linią GV i nie wcześniej do niej wróci, jak po przebieżeniu łuku GC. Po zrobieniu tego pierwszego kroku, będzie większy wielobok leżał bokiem BC na BQ, bok małego wieloboku IK na OS, podczas gdy cała droga I0 zostanie przeskoczona bez dotknięcia, a środek G przejdzie do C, przebywając drogę poza równoległą GV. W końcu cała figura zajmie położenie podobne do pierwszego, tak że przy dalszym obrocie i drugim kroku, bok większego wieloboku DC położy się na QX, bok małego wieloboku KL, po przekroczeniu PX na YZ, a środek G, poruszający się wciąż ponad GV, zejdzie tam dopiero w R, po wielkim skoku CR. W rezultacie, większy wielobok, tocząc się po AS, odetnie sześć linii równych jego obwodowi, bez żadnych przerw; wielobok mniejszy pokryje również sześć jednakich odcinków, równych jego obwodowi, ale poprzegradzanych pięcioma łukami, których cięciwy nie będą dotknięte, stanowiąc części linii HT; wreszcie środek G w sześciu punktach tylko schodzić się będzie z równoległą GV. Pojmujecie więc. że przestrzeń HT, przebyta przez mały wielobok, jest prawie równą AS, przebytej przez wielobok większy, od której jest mniejsza tylko o jedną cięciwę małego łuku, uważając linię HT razem z pięcioma łukami. Pragnąłbym teraz, aby to, co wam przedstawiłem na przykładzie tych sześcioboków, okazało się wam również jasne przy innych wielobokach, z dowolną liczbą boków, a tylko do siebie podobnych, współśrodkowych i razem ze sobą związanych, tak że przy toczeniu się większych rozważać można toczenie się mniejszych i że drogi przebyte są prawie równe, o ile się dolicza przestrzenie pod łukami, nie dotknięte bokami mniejszego wieloboku. Niech więc będzie większy wielobok o 1000 boków, które odcinamy na przebytej przezeń drodze. Równocześnie mały wielobok przebywa prawie tę samą drogę, dotknąwszy się 1000 małych odcinków, przegrodzonych 1000 próżni, gdyż tak je możemy nazwać w przeciwieństwie do 1000 odcinków dotkniętych. To, co powiedziałem, nie przedstawia żadnej trudności ani wątpliwości. Ale powiedzcie mi, jeżeli około jakiego środka np. A, zakreślimy dwa koła współśrodkowe, związane razem i jeżeli z końców ich średnic C i B poprowadzimy dwie styczne CE, BF, a przez środek A równoległą AD i jeżeli toczyć będziemy koło większe po BF (i uczynimy BF równe obwodowi koła równie jak i linie CE i AD), to po jednym obrocie cóż się stanie z małym kołem i ze środkiem? Ten ostatni przebiegnie niewątpliwie całą długość AD, a obwód małego koła dotknie się swymi punktami całej linii CE, w ten sam sposób jak to było poprzednio z wielobokiem; z tą jedyną różnicą, że tam linia HT nie we wszystkich punktach była dotykana przez mały wielobok, bo wiele małych odcinków było przeskoczonych, tu zaś przy kole nie może jego obwód opuszczać ani na chwilę linii CE i każdy jego punkt musi się na niej znajdować. W jaki więc sposób może mniejsze koło, bez przeskakiwania, przebiec drogę tak znacznie dłuższą od swego okręgu?

SAGREDO: Sądzę, że można by powiedzieć, że równie jak środek koła, ciągniony po AD, dotyka się jej całej, jakkolwiek jest tylko jednym punktem, tak samo punkty małego koła, pociągane ruchem koła większego, mogą się prześlizgiwać po cząstkach linii CE.

SALVIATI: Nie może to mieć miejsca z dwóch przyczyn. Po pierwsze dlatego, że nie ma większego powodu utrzymywać, że dotykanie, podobne do ślizgania się C, następuje na pewnej części linii CE, a na innej jej części nie; gdyby zaś tak było, to musiałoby być nieskończenie wiele takich zetknięć (bo punktów jest nieskończoność) i ślizgań byłoby także nieskończenie wiele; a że każde ma pewną długość, to dałyby razem długość nieskończoną, podczas gdy linia CE jest skończoną. Po wtóre dlatego, że wielkie koło, tocząc się, wciąż zmienia swój punkt zetknięcia, a więc nie może go nie zmieniać i koło małe, bo nie można jak tylko z B poprowadzić linii prostej do środka A, która by równocześnie przechodziła przez C, tak że gdy wielkie koło zmienia swój punkt zetknięcia, to małe czyni to samo, a żaden punkt małego koła nie dotknie więcej jak jednego punktu prostej CE. Nadto, przy toczeniu się wieloboków, każdy punkt małego obwodu przykłada się tylko do jednego punktu linii, która z tego obwodu została wyprowadzona, jak się to widzi łatwo, zważywszy, że IK jest równoległe do BC, a więc dopóki BC nie położy się na BQ, to linia IK pozostaje wzniesiona ponad IP i nie prędzej na niej się kładzie aż gdy BC padnie na BQ, a wtedy IK schodzi się z OP, ażeby się znów zaraz podnieść.

SAGREDO: Przebieg jest istotnie bardzo ciekawy i nie widzę żadnego rozwiązania, mówcie przeto, co uważacie za odpowiednie.

SALVIATI: Wracając do powyżej rozważanych wieloboków, których ruch był zrozumiały i został pojęty, powiedziałbym, że jak przy wielobokach o 100000 boków droga przebyta jest równa obwodowi większego wieloboku, tj. owym 100000 boków ułożonym bez przerwy jeden za drugim a także równa 100000 boków mniejszego, poprzegradzanych 100000 miejsc pustych, - to tak samo przy kołach (które są wielobokami o nieskończonej liczbie boków) linia opisana jest równa nieskończenie wielu bokom wielkiego koła, w ciągłym następstwie i równa także nieskończenie wielu bokom małego koła, poprzegradzanym takąż liczbą miejsc pustych. A ponieważ liczba boków jest niezliczona, więc nieskończoną także jest liczba przegradzających je miejsc pustych. Tam więc mamy nieskończenie wiele punktów pełnych, a tu nieskończenie wiele punktów, częścią pełnych a częścią pustych. I tutaj proszę zauważyć, że nie można, podzieliwszy linię na skończone i dające się przeliczyć części, zebrać następnie tych części w linię dłuższą od tej, jaką stanowiły przed podzieleniem, nie poprzegradzawszy ich pustymi miejscami; ale, wyobraziwszy sobie linię, podzieloną na nieskończenie wiele części nieskończenie małych, możemy z nich złożyć linię nieskończenie długą, bez ich przegradzania skończonymi miejscami pustymi a tylko nieskończenie małymi. l to, co mówię o liniach, odnosi się także do powierzchni ciał stałych, jeżeli te uważać będziemy jako złożone z nieskończonej liczby atomów; dzieląc bowiem ciała na części skończone, niewątpliwie nie możemy złożyć z tych części takich ciał, które by zajmowały większe przestrzenie niż ciała pierwotne, bez przegradzania ich miejscami pustymi, tj. takimi, w których się żadna część ciała stałego nie znajduje: ale, jeżeli wyobrazimy sobie największe i ostateczne podzielenie ciała na pierwotne części składowe, tj. na nieskończenie wiele nieskończenie małych cząstek, to moźna by z nich tworzyć bardzo wielkie ciała, bez przegradzania skończonymi pustymi przestrzeniami, a tylko wstawiając nieskończenie wiele nieskończenie małych miejsc pustych; w ten sposób np. można małą kulkę złota rozciągnąć na bardzo wielką przestrzeń bez przyjmowania skończonych miejsc pustych, jeżeli przyjmiemy, że złoto składa się z nieskończonostek niepodzielnych.

SIMPLICIO: Zdaje mi się że jesteście na śladzie owych próżni rozproszonych, pewnego starożytnego filozofa.

SALVIATI: Lecz nie dodajecie: tego filozofa, który przeczył boskiej opatrzności, jak w podobnym przypadku zauważył, w sposób mniej stosowny, przeciwnik naszego Akademika.

SIMPLICIO: Zauważyłem też, i nie bez oburzenia, niechęć źle usposobionego przeciwnika, lecz nie tylko przez delikatność unikam dotykania tych kwestii, a także dlatego, że wiem, jak mało one odpowiadają waszemu umiarkowaniu i wysokiemu wykształceniu, gdyż jesteście nie tylko religijni i pobożni, lecz także katolicy i bogobojni. Ale, wracając do naszego zadania, znajduję jeszcze wiele trudnych punktów w naszej rozmowie, z których prawdopodobnie nie będę mógł wybrnąć. Przede wszystkiem, jeżeli oba obwody kół są równe obu prostym CE, BF, tej ostatniej pełnej a tamtej ze wstawieniem nieskończenie wielu pustych punktów, to w jaki sposób może być linia AB, opisana przez środek, a więc przez jeden punkt, uważaną jako równa zawierającym nieskończoności punktów? A przy tym, to tworzenie linii z punktów, podzielnej z niepodzielnych, skończonej z nieskończonostek, wydaje mi się twardym orzechem do zgryzienia; przyjęcie zaś próżni, którą tak trafnie zbijał Arystoteles, prowadzi do tych samych trudności.

SALVIATI: Są one niewątpliwie a przy tym inne jeszcze, ale zwróćmy uwagę na to, że znajdujemy się w dziedzinie nieskończenie wielkich i najmniejszych niepodzielnych, jednych niedościgłych dla swej wielkości, a drugich dla małości; widzimy stąd, że mowa ludzka nie wystarcza do odpowiedniego ich wyrażenia; pozwolę sobie wszakże podać niektóre myśli, które jeżeli nie wyczerpią całkowicie kwestii, to jednak zasłużą na uwagę swą nowością: obawiam się jednak aby częste zbaczania z drogi nie wydały się wam niepotrzebne, a przeto niezbyt przyjmne.

SAGREDO: Prosimy, pozwólcie nam korzystać z dobrodziejstwa i przywileju rozmowy z żywymi i przyjaciółmi, o rzeczach dowolnych a nie koniecznych, odmiennych od tych, które są traktowane w martwych księgach, budzących tysiące wątpliwości, z których żadna nie może być rozwiązana. Pozwólcie więc nam brać udział w rozważaniach, które się wam nasuną w ciągu rozmowy; a nie zbraknie nam czasu, gdyż żadne zajęcia obowiązkowe nie oderwą nas od rozpraw i rozwiązywania poruszanych kwestji; zwłaszcza też należy rozwiązać wątpliwości, jakie się nasuwały panu Simplicio.

SALVIATI: Niech więc tak będzie, skoro to wam przypada do gustu. A najpierw spytajmy, w jaki sposób pojedynczy punkt może się stać równym jednej linii. Nie widzę tu innego wyjścia, jak nieprawdopodobieństwo złagodzić drugim, podobnym albo większym, tak jak często rzecz cudowna zaćmiewa cud. Wyobraźcie sobie, że dwie równe powierzchnie, służące za podstawy dwom równym bryłom, zaczynają się jedna i druga powoli i równomiernie zmniejszać, w ten sposób wszakże, że nie przestają być sobie równe w każdej chwili, aż w końcu jedna powierzchnia razem ze swoją bryłą zejdzie do jednej bardzo długiej linii, a druga z bryłą także zamieni się na jeden punkt, czyli, innymi słowy, z jednej mamy punkt, a z drugiej nieskończenie wiele punktów.

SAGREDO: Rzecz ta wydaje się istotnie zadziwiająca, toteż prosimy o objaśnienie i dowód.

SALVIATI: Potrzeba do tego rysunku, gdyż dowód jest czysto geometryczny. Niech będzie półkole AFB, ze środkiem w C, (rys. 6) i otaczający je prostokąt ADEB; poprowadzimy linie proste z C do punktów D i E. Wyobraźmy sobie, że promień CF, prostopadły do AB i DE, stoi nieruchomo, a cała figura obraca się wokół niego jako osi. Oczywiście prostokąt ADEB opisze walec, półkole AFB - półkulę a trójkąt CDE - ostrokrąg. Przypuśćmy następnie, że półkula zostanie wyjęta, a pozostanie ostrokrąg i reszta cylindra, którą dla kształtu podobnego do miski, nazwiemy poprostu miską; dowiedziemy najpierw, że miska i ostrokrąg są równe; następnie, przeprowadziwszy płaszczyznę równoległą do koła, będącego podstawą miski, którego średnicą jest DE a środkiem F, dowiedziemy, że taka płaszczyzna, np. przechodząca przez GN, przecina miskę według GION, a ostrokrąg według HL w ten sposób, że reszta ostrokręgu CHL jest zawsze równa reszcie miski, której profil przedstawiają trójkąty GAI, BON; okaże się dalej, że podstawa tego ostrokręgu, tj. koło o średnicy HL, jest stale równe tej powierzchni kołowej, która stanowi podstawę reszty miski, a którą nazwiemy wstęgą o szerokości GI (zauważcie przy tym, jak są potrzebne określenia matematyków, nadające nazwy albo, że tak powiem, skrócone sposoby mówienia, zestawione i wprowadzone dla usunięcia kłopotliwego trudu, który musielibyśmy ponosić, nie umówiwszy się nazwać np. owej powierzchni - wstęgą kołową, a ostrego wierzchu miski - okrągłą brzytwą). Jakkolwiek zresztą je nazwiecie, wystarczy przekonać się, że płaszczyzna, poprowadzona w jakiejkolwiek odległości, ale równolegle do podstawy, czyli do koła o średnicy DE, odetnie dwie bryły, zawsze równe sobie: wierzch ostrokręgu CHL i wierzch brzytwy kołowej; a tak samo będą sobie równe obie powierzchnie podstaw tych brył, tj. wspomniana wstęga i koło HL. Wynika stąd zadziwiające twierdzenie, że, gdy przypuścimy ciągłe podnoszenie się płaszczyzny przecinającej i jej zbliżanie się do AB, to wciąż zarówno bryły odcięte, jak i powierzchnie ich podstaw, będą sobie równe; aż w końcu tak obie bryły, jak i obie powierzchnie zamienią się, jedne na koło a drugie na punkt, gdyż tym jest dla jednych ostry brzeg miski, a dla drugich wierzchołek ostrokręgu. Dalej, ponieważ przy ciągłym zmniejszaniu się obu brył utrzymuje się stale wzajemna ich równość, przeto wnosić należy, że i ostatnie reszty pozostaną sobie równe i nie będzie jedna nieskończenie większą od drugiej: a więc obwód wielkiego koła może być przyrównany do jednego punktu. A to samo, co się dzieje z bryłami, odnosi się również do ich podstaw, które także, przy podnoszeniu się płaszczyzny przecinającej, utrzymują wzajemną równość, aż się w końcu zamienią, równocześnie, jedna na koło, a druga na punkt. I dlaczegóż nie mielibyśmy ich uważać za równe, skoro są one ostatnimi resztami i śladami obu równych wielkości? Zauważcie jeszcze, że gdyby miska była tak wielka, jak półkula nieba, to i wtedy jej reszta byłaby równa wierzchołkowi ostrokręgu, chociaż stanowi ją koło, będące obwodem sklepienia niebios, a wierzchołek ostrokręgu jest tylko punktem. Na podstawie takich rozumowań twierdzimy, że wszystkie okręgi kół, jakkolwiek są różne, mogą być nazwane równymi, a każdy z nich równy jednemu punktowi.

SAGREDO: Rozumowanie wydaje mi się tak piękne i cenne, że choćbym mógł, nie chcę mu nic przeciwstawiać, bo byłoby świętokradztwem naruszyć tę piękną budowę jakimś pedantycznym napadem, toteż dla zadowolenia nas dajcie tylko dowód geometryczny stałej równości obu brył i ich podstaw; nie jest on chyba zbyt trudny, a rozważanie filozoficzne było tak subtelne, że od tego zależy wniosek ostateczny.

SALVIATI: Dowód jest łatwy i krótki. Wróćmy do naszego rysunku (rys. 6), na którym kąt IPC jest prosty, kwadrat promienia IC równy kwadratom dwóch boków IP, PC. Promień IC jest równy AC, a AC równe GP, CP równe PH; a więc kwadrat z GP jest równy obu kwadratom z IP i PH i poczwórne poczwórnemu, czyli kwadrat z GN równy kwadratom z I0 i HL; że zaś powierzchnie kół mają się do siebie jak kwadraty średnic, więc powierzchnia koła o średnicy GN jest równa dwom powierzchniom kół o średnicach I0 i HL; odejmując po obu stronach powierzchnię koła o średnicy I0, zostaje reszta powierzchni koła GN równa kołu o średnicy HL. Oto co się tyczy pierwszej części. Co do drugiej, to tymczasem pominiemy dowodzenie, bo dla naszego przypadku wystarcza, gdy dowiedzieliście się, że wzmiankowane powierzchnie są zawsze równe i że przy postepującym ich zmniejszaniu jedna zamienia się na punkt, a druga na koło jakiejkolwiek wielkości, gdyż tylko ten wynik budził nasz podziw.

SAGREDO: Piękny dowód odpowiada zadziwiającemu rozważaniu. Powiedzcie nam coś teraz o drugiej kwestii, jaką podniósł p. Simplicio, jeżeli macie co szczególnego do powiedzenia w tej sprawie, czego nie przypuszczam, gdyż spór ten wielokrotnie był już rozstrząsany.

SALVIATI: Mam pewną myśl, ale najpierw przypomnę, co powiedziałem, że nieskończoność sama przez się jest równie niezrozumiała, jak i cząstki niepodzielne; bo popróbujcie je zestawić: jeżeli chcemy złożyć linię z punktów niepodzielnych, to te ostatnie muszą być nieskończenie małe, musimy więc jednocześnie badać nieskończoność i niepodzielność. Przy podobnych zadaniach przedstawiły mi się różne punkty widzenia, z których najważniejsze nie od razu przyszły mi na myśl, lecz dopiero nasuwają się w trakcie rozmowy, gdy dochodzę do zarzutów wyrażonych przez was, a zwłaszcza przez pana Simplicia, gdyż bez tej pobudki pozostałyby we śnie mej fantazji. Toteż ze zwykłą swobodą pozwolę sobie je przedstawić, gdy się wynurzą nasze ludzkie chimery, tak bowiem należy je nazwać w porównaniu z wiedzą nadprzyrodzoną, jedyną prawdziwą, rozwiązującą nasze kwestie sporne i służącą za pewnego przewodnika w naszym ciemnym i niepewnym labiryncie myśli.
Główny zarzut czyniony tym, którzy tworzą ciągłość z niepodzielnostek jest ten, że jedna niepodzielnostka, dodana do drugiej nie daje wielkości podzielnej; gdyby bowiem tak było, wynikałoby stąd, że i niepodzielnostka jest podzielna, bo skoro dwie niepodzielnostki np. dwa punkty dają razem pewną ilość, stanowiącą linię podzielną, to jeszcze więcej podzielna byłaby linia złożona z trzech, pięciu, siedmiu lub innych wielkości nieparzystych; a podzielenie następnie każdej takiej linii na dwie połowy przecięłoby na dwoje niepodzielnostkę leżącą w środku. Tego, jak i innych podobnych zarzutów uniknąć można, mówiąc, że nie tylko dwie, ale dziesięć, sto i tysiąc niepodzielnostek nie mogą utworzyć wielkości podzielnej, lecz tylko gdy ich jest nieskończenie wiele.

SIMPLICIO: Tu nasuwa się wątpliwość, jak mi się zdaje nierozwiązalna i ponieważ właśnie możemy mieć linie nierównej długości, z których każda składa się z nieskończenie wielu punktów, to musimy wnosić, że wśród rzeczy jednego rodzaju znaleźć można jedną większą od nieskończoności, bo nieskończoność punktów większej linii jest przecież większa od nieskończoności punktów linii mniejszej. Będzie więc jedna nieskończoność większa od drugiej, co wydaje mi się zupełnie niezrozumiałe.

SALVIATI: Są to trudności, stąd powstające, że naszym skończonym umysłem nie możemy rozważać nieskończoności, bo przypisujemy jej te własności, które widzimy w rzeczach skończonych i ograniczonych a które tu się nie nadają, bo pojęcia większości, mniejszości i równości nie mogą być stosowane do nieskończoności i niepodobna mówić o większych, mniejszych lub równych nieskończonościach. Nasuwa się przykład, który przedstawię w zapytaniach do p. Simplicia, skoro on wzbudził dyskusję.
Przyjmuję najpierw, że wiadomo wam dobrze, które liczby są kwadratami, a które nie.

SIMPLICIO: Wiem dobrze, że kwadratem jest iloczyn z pewnej liczby, pomnożonej przez siebie samą, i tak 4, 9 są kwadratami z 2 i 3.

SALVIATI: Wybornie. Pamiętajcie również, że tak samo, jak iloczyny noszą nazwę kwadratów, to czynniki, czyli liczby przez siebie mnożone nazywane są bokami albo pierwiastkami; inne znów, nie składające się z liczb przez siebie pomnożonych, nie są kwadratami. Jeżeli więc powiem, że wszystkie liczby, kwadraty i nie kwadraty, stanowią więcej niż same kwadraty, to wszak wyrażam ścisłą prawdę?

SIMPLICIO: Nie mogę powiedzieć inaczej.

SALVIATI: Teraz jeżeli się zapytam, ile jest kwadratów, to można słusznie odpowiedzieć, że tyle ile pierwiastków, bo każdy kwadrat ma swój pierwiastek i każdy pierwiastek - swój kwadrat, żaden kwadrat nie ma więcej pierwiastków i żaden pierwiastek więcej kwadratów, jak tylko jeden.

SIMPLICIO: Zupełna prawda.

SALVIATI: Ale jeżeli zapytam, ile jest pierwiastków, to nie można przeczyć, że są one równie liczne, jak cały szereg liczb, gdyż nie ma liczby, która by nie była pierwiastkiem jakiegoś kwadratu. Skoro to jest ustalone, to powiedzieć należy, że tyle jest kwadratów, ile liczb, gdyż tyle jest kwadratów, ile pierwiastków, a pierwiastkami są wszystkie liczby; a że, jak powiedziałem na początku, więcej jest liczb niż kwadratów, to w większej swej części nie są one kwadratami. I rzeczywiście im większe liczby bierzemy pod uwagę, tym bardziej zmniejsza się wśród nich liczba kwadratów, bo do 100 mamy 10 kwadratów czyli 1/10, do 10000 - 1/100, a do 1000000 - tylko 1/1000, a do liczby nieskończonej, gdybyśmy mogli ją pomyśleć - musielibyśmy powiedzieć, że jest tyle kwadratów, ile wszystkich liczb razem.

SAGREDO: Cóż więc robić, aby kwestię rozwiązać?

SALVIATI: Nie widzę innego wyjścia, jak powiedzieć: nieskończenie wiele jest liczb, nieskończenie wiele kwadratów i nieskończenie wiele pierwiastków. Wielość kwadratów nie jest ani większa ani mniejsza od wielości liczb i w ostatecznym wniosku pojęcia równości większości i mniejszości nie stosują się do nieskończoności, a tylko do ilości skończonych. Toteż p. Simplicio przedstawia mi parę linii nierównych i pyta, jak to być może, aby w większej nie było więcej punktów jak w mniejszej, odpowiadam, że nie ma tam ani więcej, ani mniej, ani tyle samo, tylko w każdej jest nieskończenie wiele. I rzeczywiście, gdybym mu odpowiedział, że jedna linia ma tyle punktów, ile jest kwadratów, druga większa - ile liczb, a trzecia najmniejsza - ile sześcianów, nie byłbym mu dał więcej zadowalającej odpowiedzi, przyznając jednej linii więcej punktów niż innym, a jednak wszystkim nieskończenie wiele. Tyle, co się tyczy pierwszej trudności.

SAGREDO: Proszę, zatrzymajcie się chwilę i pozwólcie mi dodać moje myśli, które mi przychodzą do głowy. Zdaje mi się, że z tego, co było powiedziane, wynika, że nie można twierdzić, ani aby jedna nieskończoność była większa od drugiej, ani też aby nieskończoność była większa od wielkości skończonej; bo gdyby jaka liczba nieskończona była większa np. od miliona, to wynikałoby stąd, że przechodząc od miliona do liczb coraz większych, dojść można do nieskończoności; tak zaś nie jest: przeciwnie, jeżeli przechodzimy do liczb coraz większych, tym więcej oddalamy się od nieskończenia; bo, im większe bierzemy liczby, tym rzadsze między nimi są kwadraty, a w liczbie nieskończonej nie może być mniej kwadratów niż wszystkich liczb; gdy więc przechodzimy do coraz większych liczb, oddalamy się od liczby nieskończonej.

SALVIATI: Wnioskujemy więc z waszego dowcipnego rozważania, że właściwości: większość, mniejszość, równość, nie mają miejsca nie tylko między nieskończonościami, ale także między nieskończonością a skończonością.
Przechodzę teraz do innych rozważań. Ponieważ linia i wszelka ciągłość jest podzielna na cząstki w dalszym ciągu podzielne, to nie można przeczyć wnioskowi, że linia składa się z nieskończenie wielu cząstek niepodzielnych, gdyż z jednego podziału i dalszych dzieleń bez końca wynika, że cząstek jest nieskończenie wiele, bo inaczej dzielenie musiałoby mieć swój koniec; a skoro wielość cząstek jest nieskończona, a nie skończona, więc nieskończenie wiele skończonych wielkości tworzy razem wielkość nieskończoną i tak dochodzimy do ciągłości, złożonej z nieskończenie wielu czkąstek niepodzielnych.

SIMPLICIO: Ale skoro możemy prowadzić dalej dzielenie na części skończone, to dlaczego wprowadzamy tam koniecznie nieskończonostki.

SALVIATI: Właśnie ta możność dzielenia bez końca zmusza do tworzenia całości z nieskończonostek. Bo aby uniknąć sporu, powiedzcie mi, czy, według waszego mniemania, części ciągłości są skończone, czy nieskończone.

SIMPLICIO: Utrzymuję, że są nieskończone i skończone, potencjalnie nieskończone, aktualnie skończone. Pod »potencjalnie« rozumiem »przed wszelkiem dzieleniem«; »aktualnie« znaczy »po dokonanym podziale«; bo istotnie nie można sobie wyobrazić części wcześniej niż po podziale dokonanym (lub naznaczonym); przedtem zaś są one potencjalne.

SALVIATI: Więc linia długości 20 cali nie może aktualnie zawierać 20 linii jednocalowych, póki nie zostanie na 20 części podzielona, a przedtem zawiera je tylko potencjalnie! A zresztą niech i tak będzie, ale powiedzcie mi też, czy wskutek aktualnego dokonania podziału wzrasta długość danej linii, czy się zmniejsza, czy też pozostaje niezmieniona?

SIMPLICIO: Ani się powiększa, ani zmniejsza.

SALVIATI: l ja tak myślę. A więc części pewnej ciągłości, potencjalne lub aktualne, nie czynią całości większą lub mniejszą; lecz jest rzeczą jasną, że części skończone zawarte są aktualnie w swej całości, a gdy ich jest nieskończenie wiele, to całość będzie nieskończenie wielką; a więc części skończone, choćby tylko potencjalnie było ich nieskończenie wiele, nie mogą utworzyć innej całości, jak tylko nieskończoną; wynika stąd, że wielkość skończona nie może się składać, aktualnie czy też potencjalnie, z nieskończenie wielu części.

SAGREDO: Jakże więc może to być prawdziwe, że ciągłość może być nieustannie dzielona na części, które znów dają się dzielić.

SALVIATI: Bo to rozróżnianie aktualności i potencjalności, czyni dla nas możliwym to, co dla innych wydaje się niemożliwe. Ale ja pragnę lepiej to rozwiązać, inaczej rozumując i na pytanie: czy części ograniczonej całości są skończone, czy nieskończone, dam odpowiedź wprost przeciwną tej, jaką dał p. Simplicio, a mianowicie, że nie są ani skończone, ani nieskończone.

SIMPLICIO: Nie umiałbym tak odpowiedzieć, gdyż nie znam żadnego pojęcia pośredniego między »skończonym« a »nieskończonym« i utrzymywanie, że jakaś rzecz może być albo skończoną albo nieskończoną byłoby niesłuszne i wątpliwe.

SALVIATI: A mnie się zdaje, że tak jest. Jeżeli mowa o wielkościach niestałych, to zdaje mi się, że między skończonym a nieskończonym jest jeszcze coś trzeciego, pośredniego, a mianowicie to, co odpowiada każdej danej liczbie; tak że w danym przypadku na pytanie: czy części pewnej całości są skończone czy nieskończone, najlepsza byłaby odpowiedź, że nie są ani skończone ani nieskończone, lecz odpowiadające każdej danej liczbie; aby tak było, nie może się ich tam znajdować liczba ograniczona, bo w takim razie nie mogłyby odpowiadać liczbie większej; ale znów nie trzeba, aby ich było nieskończenie wiele, gdyż liczba ich jest dana i ta liczba nie może być nieskończenie wielką. I tak, możemy, stosownie do woli pytającego, przyznać danej linii 100, 1000, 10000 części skończonych, lecz nie można jej podzielić na nieskończenie wiele części. Godzę się więc z panami filozofami, że ciągłość zawiera tyle części, ile się im podoba i dodaję, że zawiera je aktualnie lub potencjalnie, według ich gustu i upodobania; nadmieniam wszakże, że tak samo jak w linii dziesięciołokciowej mieści się dziesięć linii łokciowych, dwadzieścia półłokciowych a czterdzieści ćwierćłokciowych, to również mieści ona w sobie nieskończenie wiele punktów; nazwijcie je aktualnymi lub potencjalnymi, jak chcecie, co do mnie, składam się w tym względzie panie Simplicio na wasz pogląd i sąd.

SIMPLICIO: Nie mogę nie pochwalić waszego rozważania, lecz mam wielką obawę, że to równoczesne zawieranie punktów i części skończonych nie jest zupełnie ścisłe; toteż nie będzie wam tak łatwo podzielić danej linii na nieskończenie wiele punktów, jak owym filozofom na 10 łokci lub 40 ćwiercłokci; wreszcie wydaje mi się niemożliwe doprowadzenie do skutku takiego podziału, tak że to będzie czynność potencjalna, a nie może się stać aktualną.

SALVIATI: Skoro rzecz jest tak trudna i tylko z trudem i mozołem może być w ciągu długiego czasu przeprowadzona, to przez to jeszcze nie jest niemożliwa, gdyż sądzę, że nie możecie równie łatwo podzielić linii na 1000, na 937 albo na inną pierwszą liczbę części. Lecz jeżeli ten podział, uważany przez was za niemożliwy, sprowadzę do krótkiej czynności, tak prostej, jak podział na 40 części, czy wtedy go przyjmiecie?

SIMPLICIO: Ten sposób postępowania przypadłby mi do gustu; a na pytanie wasze mogę tylko odpowiedzieć, że ułatwienie będzie już wielkie, jeżeli poprzestaniemy na podziale na 1000 części.

SALVIATI: Teraz powiem wam rzecz, która was zadziwi: jeżeli ktoś chce podzielić linię na nieskończenie wiele punktów i spodziewa się dokonać to w ten sposób, jak ów, który chciał otrzymać 10, 60 albo 100 części, tj. jeżeliby dzielił najpierw na dwie części, potem na cztery itd., to się grubo pomyli, bo tak postępując musiałby wiecznie dzielić; tymczasem tą drogą nie można dojść do niepodzielnostek, gdyż się właśnie od nich oddala; ciągnąc dalej dzielenie i powiększając liczbę części w nadziei zbliżania się do nieskończoności, oddalamy się od niej, a to z tej przyczyny. Z rozmowy przed chwilą wywiedliśmy wniosek, że liczba nieskończona mieści w sobie tyle kwadratów i sześcianów, ile liczb, bo kwadratów i sześcianów jest tyle, ile pierwiastków, a pierwiastkami są wszystkie liczby. Widzieliśmy przy tym, że im większe bierzemy liczby, tym mniej wśród nich jest kwadratów: jasne więc jest, że im do większych liczb dochodzimy, tym więcej się oddalamy od nieskończoności, skąd wynika, że jeżeli która liczba posiadać może właściwości (atrybuty) nieskończoności, to właśnie jednostka. l rzeczywiście, w jednostce znajdujemy warunki i konieczne atrybuty nieskończoności, a mianowicie zawiera ona tyle kwadratów i sześcianów, ile liczb.

SIMPLICIO: Nie zdaję sobie sprawy, jak to należy rozumieć.

SALVIATI: Rzecz jest niewątpliwa, bo jedność jest kwadratem, sześcianem, czwartą potęgą itd. a kwadraty i sześciany nie mają żadnej własności, jakiej by nie posiadała jedność, jak np. własność, że dwa kwadraty mają zawsze między sobą liczbę średnioproporcjonalną. Weźcie jakikolwiek kwadrat i jedność, a znajdziecie między nimi zawsze średnią-proporcjonalną. Między 9 i 1 mamy 3, między 4 i 1 mamy 2, między 9 i 4 mamy 6. Sześciany mają między sobą dwie średnie proporcjonalne np. 8 i 27 mają 12 i 18, 1 i 8 mają 2 i 4, 1 i 27 mają 3 i 9. Wnioskujemy stąd, że nie ma innej liczby nieskończonej jak jednostka. Są to rzeczy godne podziwu i przekraczające pojętność naszego umysłu; uczą nas one, jak bardzo się mylimy, przypisując nieskończoności tż same własności co ilości skończonej, podczas gdy te własności nie mogą się odnosić równocześnie do obu. Dodam tu jeden zadziwiający przypadek, który przychodzi mi na myśl, wykazujący niezmierną różnicę między tymi ilościami, oraz sprzeciw a niemal wstręt natury do przeprowadzenia wielkości skończonej w nieskończoną. Niech będzie jakakolwiek linia AB (rys. 7); punkt C dzieli ją na dwie części nierówne: jeżeli z końców A i B zataczać będziemy koła promieniami proporcjonalnymi do długości AC i CB, to te koła przecinać się będą ze sobą w punktach leżących na obwodzie jednego i tegoż samego koła, np. jeżeli AL : LB = AC : CB i AK : KB = AI : IB = AC : AB itd., to punkty przecięć C L K I H G F E leżą wszystkie na obwodzie tegoż samego koła, tak że można powiedzieć, iż skoro punkt C tak się porusza, że jego odległości od A i B pozostają do siebie zawsze w tym samym stosunku, to ruchem swym opisuje koło. Koło to będzie tym większe, im punkt C jest bliższy środka O linii AB, a tym mniejsze, im C leży bliżej B, tak że z pomiędzy nieskończenie wielu punktów, które można wybrać między O i B, otrzymać można koła różnej wielkości, w końcu tak małe, jak oko pchły, ale także tak wielkie, jak równik kuli niebieskiej (del primo Mobile). Każdy punkt między O i B da koło bardzo wielkie w pobliżu O, a zbliżając się w dalszym ciągu do O, tak że C zejdzie się z O, jaką linię otrzymamy przy zachowaniu pierwotnego stosunku odległości od A i B? Może okrąg koła większy od wszelkich największych, koło nieskończonej wielkości. Ale jednocześnie będzie to linia prosta, prostopadła do AB, przez punkt O, nieskończenie długa i nie zakrzywiająca się na końcach, tak żeby się złączyły, jak to miało miało miejsce z innymi liniami, bo półkole górne CHE łączyło się z dolnym EMC. Ale przez punkt O przechodzi koło największe ze wszystkich (gdyż wszystkie punkty z drugiej strony OA dają koła tym większe, im bliżej leżą O), a więc nieskończenie wielkie i to koło nie może się już zaginać i wracać do swego punktu wyjścia i stanowi linię prostą, jako okrąg nieskończenie wielki. Rozważcie teraz, jaka jest różnica między kołem skończonym a nieskończenie wielkim, tak zmienia ono swą istotę, że przestaje być kołem: dodam jeszcze, że nie może istnieć żadne koło nieskończone, a zatem i żadna kula nieskończona, ani jakiekolwiek nieskończone ciało lub powierzchnia. Cóż więc powiedzieć możemy o podobnych przemianach rzeczy skończonych na nieskończone? I dlaczego mielibyśmy się oburzać, gdyśmy przy szukaniu nieskończoności wśród liczb znaleźli w końcu jedność? Jeżeli po rozbiciu ciała stałego na wiele części zamienimy je na jak najdrobniejszy proszek, dochodząc do jego nieskończenie małych składników (infiniti suoi atomi), które są już niepodzielne, to dlaczego nie mamy powiedzieć, że ciało wróciło do jednej ciągłości, może do stanu płynnego, jak woda, rtęć lub ten sam metal stopiony? Czyż nie widzimy, że kamienie topią się na szkło, a to samo szkło w silnym ogniu staje się płynniejsze od wody.

SAGREDO: Mamy więc uważać płyny za takie dlatego, że są rozłożone na nieskończenie małe niepodzielne swoje składniki?

SALVIATI: Nie umiem znaleźć lepszego sposobu objaśnienia niektórych zjawisk, między nimi następującego: jeśli wezmę ciało twarde jak kość, kamień, lub metal i młotkiem lub najdelikatniejszym pilnikiem podzielę je na jak można najdrobnieszy proszek, to jasną jest rzeczą, że najmniejsze cząsteczki, jakkolwiek każdej z nich oddzielnie nie możemy ująć ani wzrokiem, ani dotykiem, są jeszcze skończone, ukształtowane i zliczalne; gdy je skupimy, trzymają się razem, a gdy w tej kupce zrobimy otwór, to ten pozostaje niezapełniony przez cząstki otaczające; skoro zaś wszystko poruszymy i wstrząśniemy, otwór się zapełni, zaraz po usunięciu ruchadła. To samo zjawisko widzimy gromadząc większe ciałka, wszelkiego kształtu, nawet kuliste jak proso, zboże, śrut ołowiany lub inne materiały. Gdy wszakże podobne zjawisko obserwujemy na wodzie, to widzimy, że ta, podniesiona, natychmiast wyrównuje swą powierzchnię, jeżeli na to pozwala naczynie lub ruchadło, to zrobione wgłębienie zaraz się zapełnia, a dłużej poruszana waha się i szeroko rozpościera swe fale. Wnioskować stąd należy słusznie, jak mi się zdaje, że najmniejsze cząstki, z których woda jest złożona (gdyż są one mniejszej konsystencji od najdrobniejszego proszku, jeżeli nie bez żadnej konsystencji) są czymś innym od cząstek najmniejszych, skończonych i podzielnych; i nie umiem znaleźć innej różnicy, jak tylko, że są niepodzielne. Zdaje mi się też, że wyborna przejrzystość wody nie zbija tego nader pewnego przypuszczenia, bo jeżeli weźmiemy najprzezroczystszy kryształ i zaczniemy go tłuc, ubijać i proszkować, to straci swą przezroczystość i to tym więcej, im drobniej został sproszkowany; a woda, choćby najzupełniej sproszkowana, jest jeszcze zupełnie przezroczysta. Złoto i srebro, więcej rozdrobnione kwasami (acqua forte) niż jakimkolwiek pilnikiem, pozostają jednak proszkiem, a nie stają się płynem; bo one topnieją dopiero wtedy, gdy cząstki niepodzielne ognia albo promieni słońca je rozpuszczą, jak sądzę, na ich ostateczne składniki niepodzielne.

SAGREDO: To co Waszmość zauważył przed chwilą odnośnie światła, obserwowałem z podziwem i widziałem często, jak z pomocą zwierciadła wklęsłego, trzycalowej średnicy, można w jednej chwili stopić ołów; doszedłem też do wniosku, że gdyby zwierciadło było bardzo wielkie, gładkie i parabolicznego kształtu, stopiłoby również każdy inny metal w jak najkrótszym czasie, skoro niewielkie kuliste i niezbyt wygładzone z taką siłą topiło ołów i zapalało wszelkie paliwo; uczyniło mi to wiarogodnymi cuda zwierciadeł Archimedesa.

SALVIATI: Co do zwierciadeł Archimedesa, to uważam, że ich cudowność jest godna wiary, jak ją opisuje wielu autorów; pisma samego Archimedesa czytałem z niezmiernym podziwem i studiowałem, a gdybym miał jeszcze jaką wątpliwość, to usunąłby ją wykład o zwierciadle palącym Bonaventury Cavaleri, który z lubością przeczytałem.

SAGREDO: I ja to dzieło miałem w ręku i czytałem z przyjemnością i wielkim podziwem, a ponieważ znałem już autora, to umocniłem się w przekonaniu, jakie miałem o nim, że jest jednym z najznakomitszych matematyków naszego czasu. Lecz wracając do działania promieni słonecznych i topienia metali, czyż mamy sądzić, że te działania tak gwałtowne odbywają się bez ruchu, czy też z ruchem bardzo szybkim?

SALVIATI: Inne ognie i topienia widzieliśmy dokonywane z ruchem i to jak najszybszym: Tu należą działania piorunów, prochu w minach i petardach, a zwłaszcza ta szybkość, z jaką płomień węgla, rozdmuchany miechem, zmieszany z gęstymi gazami, zwiększa siłę topienia metali. Toteż nie mogę pojąć, aby działanie światła, choćby najczystszego, odbywać się mogło bez ruchu i to jak najszybszego.

SAGREDO: Ale jaka jest prędkość światła i za jak wielką mamy ją poczytywać? Czy to jest zjawisko chwilowe, nagłe, czy jak inne ruchem w czasie? czy nie moźna by tego zbadać doświadczalnie?

SIMPLICIO: Codzienne doświadczenie uczy, że rozchodzenie się światła jest momentalne. Gdy na znacznej odległości strzela artyleria, blask płomienia dochodzi do oka momentalnie, podczas gdy huk do ucha dopiero po pewnym czasie.

SAGREDO: Eh!, panie Simplicio, z tego codziennego doświadczenia wynika tylko, że dźwięk potrzebuje więcej czasu niż światło, aby do nas doszedł, ale nie dowodzi ono, że światło dochodzi momentalnie, a nie bardzo szybko. l inna podobna obserwacja nie uczy więcej: gdy tylko słońce pojawia się nad poziomem, spostrzegamy jego promienie, ale kto nas zapewni, że te promienie nie były już nad poziomem wcześniej, nim doszły do naszych oczu.

SALVIATI: Niedostatecznie przekonujący wynik tej i innych podobnych obserwacji nasuwa na myśl, czy nie moźnaby jakim sposobem, bez błędu, wykazać, czy iluminacja tj. rozchodzenie się światła jest istotnie momentalne; bo już samo szybkie rozchodzenie się głosu pozwala przypuszczać, że prędkość światła musi być jeszcze większa. Próba, którą sobie przypominam, była następująca: dwie osoby trzymały każda zapaloną latarkę, lub inne światło, które każda mogła ręką zakrywać i odsłaniać, jedna dla oczu drugiej; umieszczone były naprzeciwko siebie w niewielkiej odległości i odsłaniały i zasłaniały światło, jedna dla oczu drugiej tak, że gdy jedna zobaczyła odsłaniające się światło u drugiej, zaraz odsłaniała swoje; taka korespondencja wzajemna powtarzana była wielokrotnie, tak że wkrótce bez pomyłki, po odsłonięciu jednego światła następowało odsłonięcie drugiego. Wprawiwszy się na małej odległości, oddalali się od siebie eksperymentatorzy, ze swymi światłami na duże, do trzech mil jeden od drugiego; a przeprowadzając doświadczenie w nocy, zwracali baczną uwagę, czy powtarzanie się znaków odbywa się w tym samym tempie u obu, z czego można było wnioskować na pewno o momentalnym rozchodzeniu się światła; gdyby bowiem światło rozchodziło się w czasie, to na trzymilowej odległości, a więc na przestrzeni sześciu mil tam i z powrotem, winny by się były wyraźnie uwidocznić opóźnienia. Gdyby zaś chciano obserwować na jeszcze większej odległości, ośmiu lub dziesięciu mil, moźna by użyć teleskopów, umieszczając eksperymentatorów w nocy, ze światłami, w takich miejscach, w których światło, jedno drugiemu gołem okiem niewidzialne, teleskopem może być dostrzeżone.

SAGREDO: Doświadczenie wydaje mi się nie mniej pewne, jak dowcipne, ale powiedzcie mi, jaki z jego wykonania wyciągnęliście wniosek.

SALVIATI: Co prawda, doświadczenie robiłem tylko w małej odległości, mniejszej od mili, toteż nie mogłem się przekonać, czy istotnie pojawienie się przeciwległego światła było momentalne; lecz, jeżeli światło nie jest momentalne, to prędkość jego jest znaczna, tak że może być przyrównana do ruchu, jaki widzimy w jasności błyskawicy, między chmurami odległemi na osiem do dziesięciu mil; odróżniamy tam początek, nawet źródło, w pewnym oznaczonem miejscu między chmurami; a choć bezpośrednio potem następuje największe rozszerzenie jasności w okolicznych chmurach, wydaje mi się jednak, że następuje w ciągu pewnego czasu, bo gdyby rozjaśnienie następowało od razu w całości, a nie stopniowo, trudno by nam było odróżnić jego początek, powiedziałbym środek, od brzegów i ostatecznego rozszerzenia. Lecz w jaką otchłań niepewności zabrnęliśmy niebaczni, przez próżnie, nieskończonostki, niepodzielne, ruchy momentalne, aby po tysiącznych rozprawach nie móc dopłynąć do brzegu.

SAGREDO: Istotnie nie odpowiada to naszym zamiarom. Nieskończoność, poszukiwana między liczbami, zdawała się mieścić w pojęciu jedności; z niepodzielnostki rodziła się zawsze podzielność; próżnia wiązała się niepodzielnie z pełnią; poglądy nasze błąkały się tak dalece, że koło stawało się nieskończenie długą linią prostą, co, jeśli dobrze pamiętam, miał nam p. Salviati stwierdzić matematycznem dowodzeniem. Przeto jeżeli łaska podajcie nam je bez rozpraw.

(...)

SALVIATI: Jeżeli zgęszczenie i rozrzedzenie są przeciwnemi sobie ruchami, to gdy widzimy olbrzymie rozrzedzenie, nie możemy przeczyć niemniej wielkiemu zgęszczeniu; lecz olbrzymie rozrzedzenie i, co więcej godne uwagi, prawie momentalne, widzimy codziennie. Czyż to nie jest olbrzymie rozrzedzenie, gdy mała ilość prochu strzelniczego daje niezmierzoną masę ognia? A czy czym innym jest nieskończone prawie rozchodzenie się światła? A co by to było za zgęszczenie, gdyby połączyć razem ten ogień i to światło, co przecież nie wydaje się niemożliwe, i zamknąć je następnie w małej przestrzeni. Pomyślcie tylko, a znajdziecie tysiące podobnych zjawisk rozrzedzenia, bo te częściej się zdarzają niż zgęszczenie; bo gęstą materję częściej się ma pod ręką i łatwiej podpada ona pod zmysły, czy to, gdy bierzemy drzewo i widzimy, jak się ono rozrzedza na ogień i światło, a nie możemy zobaczyć ognia i światła zgęszczających się na drzewo, czy też, gdy owoce i kwiaty i tysiące innych podobnych ciał rozrzedzają się na zapachy, a nie możemy obserwować atomów zapachu zgęszczających się na wonne ciała. Wszakże brak rozumnej obserwacji zastąpić trzeba rozważaniem, które wystarczy do zrozumienia nie tylko ruchu rozrzedzania i rozpuszczania się ciał stałych ale także zgęszczania substancji delikatnych, choćby jak najrzadszych. Badajmy więc, jak dokonywane być może zgęszczanie i rozrzedzanie ciał bez pomocy próżni i przenikania; z czego nie wynika, aby w naturze nie było ciał, przy których nie następują te zjawiska i przy których to, co się Warn wydaje niemożliwe, istotnie się nie zdarza. Wreszcie, panie Simplicio, na przekór Waszym filozofom namęczyłem się rozważaniem, jak można pomyśleć zgęszczanie i rozrzedzanie, nie przyjmując przenikania ciał i nie wprowadzając próżni, zdarzeń, którym przeczycie i które odrzucacie, podczas kiedy, gdybyście się na nie zgadzali, nie oponowałbym Warn tak stanowczo. Albo więc usuńcie te niedogodności, albo zgódźcie się na moje rozważania, lub wreszcie znajdźcie więcej odpowiednie.

SAGREDO: Przenikania, zgodnie z filozofami perypytetycznymi, zupełnie przeczę. Co do próżni, to pragnąłbym rozstrząsnąć dowodzenie Arystotelesa, którym on ją zwalcza, wbrew Waszemu i p. Salviati'ego poglądowi. Proszę pana, p. Simplicio, podać nam dowodzenie filozofów, a pan p. Salviati zechce łaskawie odpowiedzieć.

SIMPLICIO: Arystoteles, o ile sobie przypominam, występuje przeciwko poglądowi niektórych dawnych filozofów, którzy próżnię wprowadzają jako potrzebną do ruchu, utrzymując, że bez niej ruch nie mógłby powstać. Przeciwstawiając się temu, Arystoteles dowodzi, że właśnie tworzenie się ruchu sprzeciwia się przyjmowaniu próżni, a dowodzenie jego jest następujące. Rozważa dwa przypadki: najpierw daje się poruszać dwom różnym masom w jednym i tym samym ośrodku, a następnie jednej i tej samej masie w dwóch różnych ośrodkach. W pierwszym przypadku utrzymuje, że różne ciała poruszają się w tym samym ośrodku z różnymi prędkościami, mianowicie proporcjonalnymi do ciężkości, tak że np. dziesięć razy większy ciężar porusza się dziesięć razy prędzej. W drugim przypadku przyjmuje, że prędkości tej samej masy w różnych ośrodkach mają się do siebie w stosunku odwrotnym gęstości ośrodków, tak że np. jeżeli gęstość wody jest dziesięć razy większa od gęstości powietrza, to prędkość w powietrzu będzie dziesięć razy większa niż w wodzie. Drugi pogląd tak się wywodzi: ponieważ rzadkość próżni różni się tylko o ilość nieskończenie małą od rzadkości przestrzeni wypełnionej jak najsubtelniejszą materią, to każde ciało, potrzebujące pewnego czasu do ruchu w ośrodku pełnym, w próżni poruszać się powinno momentalnie, że zaś ruch momentalny jest niemożliwy, żaden więc ruch w próżni nie może się odbywać.

SALVIATI: Jest to, jak widzimy, dowodzenie ad hominem, tj. skierowane przeciwko tym, którzy uważają, że próżnia jest potrzebna dla ruchu. Jeżeli zgodzę się na wniosek, bo i ja uważam, że ruch nie odbywa się w próżni, to jednak przez to przyjmowanie próżni w absolutnym znaczeniu nie może być porzucone. Aby powiedzieć coś po myśli dawnych filozofów i lepiej przejrzeć, jak wiele Arystoteles dowiódł, można by, zdaje mi się, odrzucić oba przykłady. Wątpię najpierw bardzo, czy Arystoteles sprawdził doświadczalnie, że dwa kamienie, z których jeden jest dziesięć razy cięższy od drugiego, puszczone równocześnie z wysokości stu łokci, spadają w ten sposób, że, gdy pierwszy doszedł do ziemi, to drugi przeleciał dopiero dziesięć łokci.

SIMPLICIO: Z przedstawienia waszego widzi się, że wykonywaliście to doświadczenie, inaczej nie mówilibyście o sprawdzaniu.

SAGREDO: Ale ja, panie Simplicio, który nie wykonywałem doświadczenia, zapewniam Was, że kula armatnia, 100, 200 lub więcej funtowa, spadając, ani na cal nie wyprzedzi półfuntowej kuli strzelby, spadającej równocześnie z tej samej wysokości 200 łokci.

SALVIATI: Bez żadnych doświadczeń, możemy krótkim a ścisłym wywodem wykazać jasno, że jest niemożliwe, aby większy ciężar poruszał się prędzej niż mniejszy, jeżeli oba są z jednej materii i wreszcie takie, o jakich mówi Arystoteles. Więc powiedz, panie Simplicio, czy godzisz się na to, że każde ciało spadające nią prędkość przez naturę oznaczoną, tak że, aby się ta powiększała lub zmniejszała, potrzeba użyć siły przyspieszającej lub opóźniającej.

SIMPLICIO: Niewątpliwie każde ciało ma w danym ośrodku prędkość oznaczoną przez naturę, którą tylko nowy impet (impeto) może powiększyć, a nowa przeszkoda zmniejszyć.

SALVIATI: Gdybyśmy więc mieli dwa ciała, których naturalne prędkości są różne, to jasne jest, że gdy powolniejsze złączymy z prędszym, to wtedy to ostatnie będzie opóźniane przez tamto, a powolniejsze będzie przyspieszone przez prędsze. Czy zgadzacie się co do tego ze mną?

SIMPLICIO: Zdaję mi się, że to nastąpić winno niewątpliwie.

SALVIATI: Jeżeli więc jest prawdą, że wielki kamień porusza się z prędkością ośmiu stopni a mniejszy z prędkością czterech stopni, to te dwa kamienie złączone razem będą miały prędkość mniejszą od ośmiu stopni. Ale połączone dwa kamienie są większe od wielkiego kamienia, który miał prędkość ośmiu stopni, więc w tym razie ciężar większy poruszałby się wolniej od mniejszego, co sprzeciwiałoby się Waszemu założeniu. Widzicie więc jak z założenia, że większe ciało porusza się prędzej od mniejszego, dochodzę do wniosku, że większy ciężar porusza się wolniej.

SIMPLICIO: Jestem zupełnie stropiony, gdyż wydaje mi się teraz, że mały kamień, dołączony do większego, powiększa jego ciężar, gdy tymczasem ten ciężar nie zostanie powiększony zarówno, jak i prędkość, a w każdym razie ta ostatnia się nie zmniejsza.

SALVIATI: Tu popełnia pan nowy błąd, panie Simplicio, gdyż nie jest prawdą, aby mały kamień powiększał ciężar większego.

SIMPLICIO: To już przechodzi moje pojęcie.

SALVIATI: Nie przejdzie, skoro tylko usunę wątpliwości, w jakich pan jest pogrążony: gdvź zauważcie, że trzeba tu rozróżniać, czy ciężary są w ruchu, czy też znajdują się w spoczynku. Kamień położony na wadze, nie tylko stanie się cięższy, gdy doń dołączymy inny kamień, ale także gdy dołożymy garść konopi, będzie ważył więcej o 6 lub 10 uncji, które waży ta garść; ale jeżeli zrzucać będziecie kamień z wysokości, razem z konopiami, to czy myślicie, że w ruchu konopie ciążyć będą na kamieniu i mają przyspieszać jego ruch? albo że będą go podtrzymywać i jego ruch opóźniać? Czy nie czujemy ciężaru na ramionach, gdy chcemy się opierać jego ruchowi, ale jeżeli sami obniżamy się z taką samą prędkością, z jaką by spadał ciężar, jakże chcecie, aby on tam naciskał lub ciążył? Czy nie widzicie, że byłoby to tak, jakbyśmy chcieli uderzyć piką tego, który biegnie przed nami z tą samą prędkością lub większą niż nasza. Wyprowadźcie więc stąd wniosek, że przy swobodnym i naturalnym spadku mały kamień nie ciąży na większy i nie powiększa jego ciężaru, jak wtedy gdy są w spoczynku.

SIMPLICIO: Ale gdyby wielki kamień położony został na małym?

SALVIATI: To zwiększyłby jego ciężar, gdyby miał większą prędkość; ale skoro doszliśmy już do wniosku, że, gdyby mały ciężar spadał wolniej, to opóźniałby spadek większego, więc oba kamienie razem spadałyby wolniej, co się sprzeciwia waszemu twierdzeniu. Dochodzimy więc do wniosku, że wielkie i małe ciała, tegoż samego ciężaru gatunkowego, poruszają się z jednakową prędkością.

SIMPLICIO: Wywód wasz jest jak najprawdziwszy, a jednak trudno mi jest uwierzyć, aby kropla ołowiu poruszała się równie prędko, jak kula armatnia.

SALVIATI: Powiedzcie raczej ziarnko piasku jak kamień młyński. Nie chciałbym, panie Simplicio, abyś tak czynił, jak inni i zbaczając od kwestii głównej występował przeciwko mojemu poglądowi, różniącemu się o włos od prawdy, i chciał tym włosem zakrywać czyjś inny błąd, gruby jak lina okrętowa. Arystoteles mówi: stofuntowa kula żelazna, spadająca swobodnie z wysokości stu łokci, wprzód dochodzi do ziemi, aniżeli jednofuntowa spadająca z wysokości jednego łokcia; ja utrzymuję, że obie spadają równocześnie: Wv znajdujecie, że większa o dwa cale wyprzedza mniejszą, tak, że gdy większa uderza o ziemię, to mała odległa jest od niej dwa cale; wy chcecie temi dwoma calami zasłonić dziewięćdziesiąt dziewięć łokci Arystotelesowych i, mówiąc tylko o moim małym błędzie, pomijacie milczeniem drugi większy. Arystoteles mówi, że ciała różnego ciężaru w tym samym ośrodku poruszają się (o ile to zależy od ciążenia) z prędkościami proporcjonalnemi do ich ciężaru i daje jako przykład ciała, których rozważać można tylko czysty absolutny ciężar, nie uwzględniając wpływów, takich jak kształt, ich mniejsze momenty, rzeczy na które silny wpływ wywiera ośrodek, zmieniający proste działanie ciężkości, jak to widzimy przy złocie, najcięższem gatunkowo ciele, które jako cienki arkusik unosi się w powietrzu, a również pod postacią delikatnego proszku. Ale jeżeli chcecie postawić ogólną zasadę, to trzeba, abyście wykazali stosunek prędkości zaobserwowany przy wszystkich ciałach ciężkich i to, że kamień dwudziestofuntowy dziesięć razy prędzej się porusza od dwufuntowego, co, jak ja utrzymuję, jest równie błędne, gdyż spadając z wysokości pięćdziesięciu lub stu łokci zawsze dojdą do ziemi w tej samej chwili.

SIMPLICIO: Ale może przy wielkiej wysokości tysiąca łokci nastąpiłoby to, co się nie zdarza przy wysokości mniejszej.

SALVIATI: Gdyby Arystoteles przypuszczał coś podobnego, obarczylibyście go innym błędem, któryby był kłamstwem; gdyż takich pionowych wysokości na ziemi nie ma, więc rzecz jasna, że nie mógł Arystoteles robić z nimi doświadczenia: a jednak chce on nas przekonać, że je robił, bo powiada, że taki widać skutek.

SIMPLICIO: Zapewne Arystoteles nie posługiwał się tą zasadą, lecz drugą, która nie sądzę, aby podlegała tej trudności.

SALVIATI: Ale ta druga jest niemniej mylna i dziwię się, że sami nie zauważyliście pomyłki i nie spostrzegli, że gdyby była prawdziwą, to według niej jedno i to samo ciało, w ośrodkach różnej gęstości, jak np. w wodzie i powietrzu, poruszałoby się z prędkościami odwrotnie proporcjonalnemi do gęstości, a więc wszystkie ciała, spadające w powietrzu, musiałyby także spadać w wodzie; co jest zupełnie mylne, gdyż wiele ciał, które spadają w powietrzu, w wodzie nie spada, ale unosi się do góry.

SIMPLICIO: Ja nie pojmuję potrzeby Waszego wniosku, a nadto dodam, że Arystoteles mówi o takich ciałach, które w obu ośrodkach spadają, a nie o takich, które spadają w powietrzu, a podnoszą się w wodzie.

SALVIATI: W obronie filozofa przytaczacie argumenty, których on nie podałby z pewnością, aby pierwiastkowego swego błędu nie powiększać. Powiedźcie mi przy tym, czy gęstość wody, albo to, co opóźnia jej bieg, pozostaje w pewnym stosunku do gęstości powietrza, która mniej opóźnia jego bieg, a jeżeli tak, to podajcie mi dowolną wartość tego stosunku.

SIMPLICIO: Zgoda, weźmy stosunek dziesięciokrotny; będzie się tym sposobem ciało spadające w powietrzu poruszać dziesięć razy prędzej niż w wodzie.

SALVIATI: Biorę teraz ciało, które spada w powietrzu a nie spada w wodzie, jak np. kulę drewnianą i pytam się Was, jaką oznaczacie prędkość jej spadku w powietrzu.

SIMPLICIO: Przyjmujemy, że będzie się poruszała z prędkością dwudziestu stopni.

SALVIATI: Doskonale. Oczywiście może ta prędkość stoi do innej w tym samym stosunku, jak gęstość wody do gęstości powietrza i ta inna prędkość wynosić będzie tylko 2 stopnie, tak że w rzeczywistej zgodzie z zasadą Arystotelesa wnioskować należy, że kula drewniana, która w powietrzu spada z prędkością dwudziestu stopni, powinnaby spadać w wodzie z prędkością 2 stopni, a nie podnosić się od dna i pływać na powierzchni, jak to czyni; albo też chcieliście powiedzieć, że podnoszenie się w wodzie odbywa się tak samo jak spadanie w powietrzu z prędkością dwóch stopni, czego nie przypuszczam. Właśnie fakt, że kula nie spada na dno, pozwala mi spodziewać się, że się zgodzicie na to, że można znaleźć inną kulę z innego materiału, która by spadała w wodzie z prędkością dwóch stopni.

SIMPLICIO: Można, tylko materiał musi być znacznie cięższy od drewna.

SALVIATI: Tego właśnie szukam. Ale ta druga kula, która wwodzie spada z prędkością dwóch stopni, jak prędko spadać będzie w powietrzu? Powinnibyście odpowiedzieć (jeżeli chcecie posługiwać się zasadą Arystotelesa), że z prędkością dwudziestu stopni; ale dwadzieścia stopni prędkości przyznaliście sami kuli drewnianej; a więc tak ta, jak i druga cięższa, poruszałyby się w powietrzu z jednakową prędkością. Jakże to pogodzi filozof z pierwszą swoją zasadą, według której różne ciała, w jednym i tym samym ośrodku, poruszają się z różnymi prędkościami, tak się różniącemi od siebie jak ich ciężkości. Ale, nie bacząc już na to, jakże nie mogliście zaobserwować, jak dwa ciała poruszają się w wodzie, jedno sto razy prędzej od drugiego, podczas gdy, spadając w powietrzu, mają prędkości nie różniące się nawet o jedną setną; albo jak jajko z marmuru spada w wodzie sto razy prędzej od jajka kury, podczas gdy przy spadaniu obu jajek z wysokości dwudziestu łokci w powietrzu, jajko marmurowe ani na cztery cale kurzego nie wyprzedzi; że wreszcie niektóre ciała pogrążają się na głębokość dziesięciu łokci w wodzie w ciągu trzech godzin, podczas gdy na spadek w powietrzu potrzebują zaledwie dwóch uderzeń pulsu, a inne (jakby to było z kulą ołowianą) czasu mniej niż podwójnego. Tak tedy wiem dobrze, panie Simplicio, że mnie rozumiecie, że nie ma różnicy zdań ani żadnej odpowiedzi. Wnosimy więc, że ten argument nic nie przynosi przeciwko próżni, a gdyby nawet tak było, to byłyby przez to usunięte tylko te wielkie próżnie, których ani ja, ani, jak sądzę, starożytni nie przyjmowali jako dane od natury, jakkolwiek mogą być robione siłą, jak to wynika z wielu dowodzeń, o których zbyt długo byłoby tu mówić.

SAGREDO: Widząc że p. Simplicio milczy, pozwolę sobie podnieść tu inną kwestię. Jakkolwiek dowiedliście jasno, że ciała nierównego ciężaru w tym samym ośrodku nie poruszają się z prędkościami proporcjonalnYmi do ich ciężkości, lecz z jednakowemi, przyjmując przy tym, że ciała są z tegoż samego materiału albo tegoż samego ciężaru gatunkowego, a nie (jak myślę) różnych ciężarów gatunkowych (gdyż nie można wymagać, abyśmy wierzyli, że kula korkowa porusza się równie prędko jak ołowiana) i dalej, że niesłuszne jest twierdzenie, jakoby jedno i to samo ciało, w ośrodkach różnej oporności, opóźniało lub przyspieszało swój ruch w stosunku odwrotnym do oporności; pragnąłbym więc bardzo dowiedzieć się, jaki stosunek zaobserwowany został w jednym i drugim przypadku.

SALVIATI: Zadania są piękne i wiele nad nimi rozmyślałem. Wyłożę wam mój pogląd, choć jeszcze nie w ostatecznej formie. Po przekonaniu się o nieprawdziwości tego, że jedno i to samo ciało, w różnych ośrodkach, osiąga prędkości odwrotnie proporcjonalne do oporów, jak i tego, że ciała różnego ciężaru, w jednym i tym samym ośrodku, osiągają prędkości proporcjonalne do swych ciężarów (nawet przy samej różnicy ciężarów gatunkowych), skombinowawszy oba te zjawiska przez umieszczenie różnych ciał w różnych ośrodkach, znalazłem, że osiągnięte prędkości tym więcej się różnią, im opór ośrodka jest większy i to w tym stosunku, że dwa ciała, które w powietrzu spadają z bardzo mało różniącymi się prędkościami, w wodzie mogą mieć prędkości dziesięć razy większe jedna od drugiej; zdarza się także, że ciało spada w powietrzu, a w wodzie pływa tj. wcale nie spada, a nawet się podnosi: toteż można znaleźć takie gatunki drzewa, albo sękate ich części, albo korzenie, które pozostają zawieszone w wodzie, podczas gdy spadają szybko w powietrzu.

SAGREDO: Usiłowałem nieraz bardzo cierpliwie kulkę wosku, która sama w wodzie się nie zanurza, oblepiać ziarnkami piasku, dopókąd nie nabierze ciężaru równego wodzie i nie stanie w jej wnętrzu; pomimo całej ostrożności nie udało mi się tego dokonać. Nie wiem, czy jest inne jakieś ciało, które by miało gęstość równą wodzie, tak aby mogło pozostawać w niej w tym samem miejscu, w jakiem je ustawiono.

SALVIATI: Tak do tej, jak i do tysiąca innych czynności więcej jest od nas uzdolnionych wiele zwierząt. W waszym przypadku, dostarczyć mogą pewnego dowodu ryby, będące do tej czynności tak usposobione, że dowoli utrzymują się w równowadze, nie tylko w czystej wodzie, ale i w różnych jej rodzajach natrafianych w naturze, jak zanieczyszczonej czy to szlamem, czy solą, choćby różnica gęstości była znaczna; i utrzymują się w równowadze tak ściśle, że bez poruszania pozostają w spokoju w każdem miejscu; czynią to, posługując się danem im przez naturę narzędziem, małym pęcherzykiem wewnątrz ciała, który przez ważki kanalik komunikuje się z wnętrzem paszczy, tak że stosownie do potrzeby znajdujące się w pęcherzyku powietrze zostaje wypchnięte, albo gdy ryby są na powierzchni wody, wciągnięte zostaje nowe powietrze i przez tę sztukę stają się to cięższymi, to lżejszymi od wody i w każdym miejscu mogą się utrzymać w równowadze.

SAGREDO: Ja znów inną sztuką zwodziłem moich przyjaciół, przed którymi się chwaliłem, że doprowadzam wosk do ścisłej równowagi z wodą. Nalawszy na spód naczynia wodę słoną, dolałem słodkiej i wtedy wosk utrzymywał się stale pośrodku naczynia, opadał do środka, gdy był podnoszony, a podnosił się, gdy był popchnięty do dna.

SALVIATI: Nie bez użytku jest takie doświadczenie: gdy lekarze badają własności różnych wód, a między innymi głównie lekkość lub ciężkość, większą jednych niż drugich, to urządzają taką kulkę, aby wykazywała jak najmniejsze różnice, pogłębiając się w jednej wodzie, a podnosząc w drugiej. I w ten sposób tak dokładne jest doświadczenie, że przez dodanie tylko dwóch granów soli do sześciu funtów wody, kulka leżąca na dnie podnosi się do samej góry, skąd przedtem opadła. Na dowód dokładności tego doświadczenia, oraz braku wszelkiego oporu przy rozdzielaniu cząstek wody, dodać mogę, że nie tylko powiększenie jej ciężaru przez domieszanie cięższej substancji, taki sprawia skutek, ale także proste rozgrzanie i ochłodzenie i to z taką czułością, że przez wprowadzenie czterech kropli innej wody nieco chłodniejszej lub cieplejszej, do tych sześciu funtów, wywołuje się opadanie lub podnoszenie kulki, która przy dodaniu zimnej wody podnosi się, a ciepłej - opada. Widzicie teraz, jak się mylili ci filozofowie, którzy przyznawali wodzie lepkość albo inne związanie cząstek, stawiające opór rozdzielaniu i przenikaniu.

SAGREDO: Znalazłem wiele przekonywających rozważań w tym przedmiocie w jednej rozprawie naszego akademika, ale mimo to pozostaje mi wielka wątpliwość, której nie mogę usunąć: jeżeli nie ma żadnej lepkości lub spójności między cząstkami wody, jakże się mogą utrzymywać duże krople, często spostrzegane zwłaszcza na liściach kapusty, bez spłaszczania się i rozlewania?

SALVIATI: Jakkolwiek każdy, kto uważa swój pogląd za słuszny, winien odpierać wszelkie zarzuty, tu jednak nie mogę przyznawać sobie możności zrobienia tego, ale moja nieudolność nie powinna zamącać jasności prawdy. Przyznaję się najpierw, że nie wiem, w jaki sposób utrzymują się wysokie i wielkie krople, jakkolwiek wiem na pewno, że to nie pochodzi ze spójności wewnętrznej cząstek i że przyczyny zjawiska szukać należy na zewnątrz. Że ona nie jest wewnętrzna, mogę Was o tym, oprócz poprzedniego doświadczenia, przekonać innym, nader dowodnem. Gdyby cząstki tej wody, która utrzymuje się podniesiona, podczas gdy jest otoczona powietrzem, miały wewnętrzną przyczynę trzymania się razem, to ta pewniej jeszcze miałaby miejsce, gdyby się znajdowały w otoczeniu, w którym miałyby mniej dążności do opadania na dół, niż w powietrzu; ale takim ośrodkiem może być każdy płyn cięższy od powietrza, np. wino, tylko że otoczenia kropli wody winem nie da się zrobić bez rozpuszczenia cząstek wody, trzymających się razem swą wewnętrzną lepkością; ale rozpuszczenie to nie następuje wcześniej, aż obca ciecz zostanie zbliżona, przy czym woda zaraz się rozchodzi, nie czekając rozpuszczenia lub zmieszania, jak to ma miejsce z winem czerwonym; a więc przyczyna zjawiska jest zewnętrzna i może pochodzić od powietrza, l rzeczywiście, zauważyć można wielką niezgodność między powietrzem a wodą, jak to zaobserwowałem przy następującym doświadczeniu. Jeżeli bańkę szklaną, mającą otwór mały jak słomka, napełnię wodą i jeżeli tak napełnioną bańkę odwrócę otworem do spodu, to woda nie wypłynie, jakkolwiek jest cięższą, a powietrze chociaż lżejsze nie wchodzi do bańki, zwykle tak jedno, jak i drugie pozostają w spokoju. Jeżeli zaś tak odwróconą bańkę zanurzę otworem w czerwonem winie, które zaledwie trochę jest lżejsze od wody, to widzimy zaraz, jak czerwone promienie wchodzą do bańki, woda opuszcza się do wina, jakkolwiek się ze sobą nie mieszają, aż w końcu wino wypełni bańkę, a woda zejdzie do spodu naczynia z winem. Cóż mamy o tym powiedzieć i czym to wytłumaczyć, jeżeli nie niezgodą między wodą a powietrzem, nieznaną mi, którą może...

SIMPLICIO: Śmiać się muszę z antypatii pana Salviati'ego, do wyrazu antypatia, którego on nie chce tu wymówić, a który tak się nadaje do przecięcia trudności.

SALVIATI: Niechże takie będzie, dzięki panu Simplicio, rozwiązanie naszej wątpliwości i wróćmy po tym zboczeniu do naszego zadania. Widzieliśmy, że różnica prędkości spadania różnych ciał jest znacznie większa w ośrodkach więcej opornych: ale złoto nie tylko spada w rtęci prędzej niż ołów, jest nadto jedynym metalem, który w nim spada, bo inne metale podnoszą się i pływają; z drugiej strony, kulki ze złota, ołowiu, miedzi, porfiru i innych ciał ciężkich spadają w powietrzu z prędkościami, których różnice nie dają się zauważyć i pewno kulka złota, w końcu swego spadku z wysokości stu łokci nie wyprzedzi kulki miedzianej nawet o cztery cale; z uwagi na to, jestem zdania, że gdyby usunąć zupełnie opór ośrodka, to wszystkie ciała spadałyby z jednakową prędkością.

SIMPLICIO: Śmiałe to twierdzenie, panie Salviati. Co do mnie, nigdy nie uwierzę, aby w jednej i tej samej próżni, gdy się ruch odbywa, pęczek wełny spadał równie prędko jak kawał ołowiu.

SALVIATI: Ostrożnie, panie Simplicio. Pogląd pański nie jest tak uzasadniony, ani ja nie jestem tak nieopatrzny, aby można było sądzić, że nie mam lub nie mogę znaleźć wytłumaczenia. Posłuchajcie więc, co powiem dla mego usprawiedliwienia i przekonania was. Badać mamy ruch różnych ciał w ośrodku nie stawiającym oporu, tak że wszelkie różnice prędkości ciał spadających zostaną usunięte. A ponieważ jedynie tylko przestrzeń, w której zupełnie nie ma powietrza ani żadnej materii choćby najrzadszej i najmniej opornej, mogłaby wykazać to, czego szukamy i ponieważ takiej przestrzeni nie możemy wytworzyć, to spróbujmy zobaczyć, co się dzieje w ośrodkach najrzadszych i najmniej opornych, w porównaniu z innymi. Znajdujemy istotnie, że różne ciała różnią się tym mniej w swym ruchu, im ośrodki są mniej oporne i że w rezultacie, pomimo wielkiej różności ciał spadających w najrzadszym ośrodku, zauważyć można różnice prędkości ledwie dostrzegalne, zaledwie istniejące; dlatego wydaje mi się, że możemy przyjmować z wielkim prawdopodobieństwem, iż w próżni nie będzie wcale tych różnic. Bo zważmy, co się dzieje w powietrzu; ażeby zaś mieć ciało ściśle oznaczonego kształtu, z bardzo lekkiej materii, weźmy wydęty pęcherzyk, pełen powietrza, które zważone w powietrzu nic nie waży (albo bardzo mało, bo mogło być nieco ściśnięte w pęcherzyku), tak że ciężar całego pęcherzyka składa się tylko z ciężaru powłoki, a więc nie wynosi ani tysiącznej części ciężaru tej samej wielkości kulki ołowianej. Takie dwa ciała, panie Simplicio, spuśćcie z wysokości czterech do pięciu łokci; o ile, myślicie, że ołów spadnie wcześniej od pęcherzyka? Bądźcie pewni, że ani dwa ani trzy razy prędzej, chociaż uczyniliście go tysiąckrotnie prędszym.

SIMPLICIO: Być może, że w początku ruchu, w ciągu pierwszych czterech do sześciu łokci, będzie tak jak mówicie, ale w dalszym ciągu, przy dłuższem spadaniu, sądzę, że ołów pozostawi po za sobą pęcherzyk nie tylko na 1/12 część przestrzeni, ale na sześć, osiem i dziesięć.

SALVIATI: I ja tak myślę i nie wątpię, że przy bardzo wielkich wysokościach, ołów może spadać sto mil, podczas gdy pęcherzyk tylko jedną milę. Ale, mój panie Simplicio, właśnie to, co przedstawiacie jako zjawisko przeczące memu poglądowi, najwięcej ten pogląd potwierdza. Wykazuje ono, że przyczyną różnic prędkości ciał różnego ciężaru nie może być ten ciężar, lecz że ta przyczyna zależy od okoliczności zewnętrznych, a zwłaszcza od oporu ośrodka, tak że po usunięciu tego oporu wszystkie ciała poruszają się z tymi samymi stopniami prędkości. Wywodzę to głównie z poglądu, co dopiero przez was przyjętego, który jest zupełnie słuszny, że ciała różnego ciężaru tym więcej się różnią co do prędkości, z jakimi spadają, im większe przebywają odległości: co nie miałoby miejsca gdyby przyczyną była różność ciężarów. Bo ponieważ te ciężary są wciąż te same, to również ten sam stosunek winien się utrzymywać między przebytymi przestrzeniami, który to stosunek widzimy, że stale wzrasta podczas ruchu; bo bardzo ciężkie ciało nie wyprzedzi o 1/12 część przebytej przestrzeni bardzo lekkiego przy spadku z wysokości jednego łokcia, z wysokości 12 łokci wyprzedzi o 1/3, a ze 100 łokci o 90/100.

SIMPLICIO: Bardzo dobrze, ale jeżeli według Was różnica ciężaru, przy ciałach różnej ciężkości gatunkowej, nie wywołuje proporcjonalnych zmian prędkości, to znów gdy ciężary są jednakowe, wtedy ośrodek, pozostając wciąż ten sam, nie powinien powodować zmiany prędkości.

SALVIATI: Podnieśliście przeciw mojemu poglądowi ciężki zarzut, który koniecznie muszę odeprzeć. Powiedziałem co dopiero, że ciało ciężkie posiada w sobie daną przez naturę własność poruszania się w kierunku wspólnego środka ciał ciężkich tj. ku naszej kuli ziemskiej i to ruchem stale i zawsze jednostajnie przyspieszonym, tak że w czasach równych dochodzą nowe momenty i stopnie prędkości. I to zawsze może być sprawdzone, jak tylko usunięte zostaną przypadkowe przeszkody zewnętrzne; między nimi jest jedna, która się nie daje usunąć, mianowicie ośrodek, który musi się otwierać przed ciałem spadającym i usuwać na bok, a temu swemu ruchowi bocznemu ośrodek, nawet gdy jest płynny, ustępliwy i spokojny, zawsze stawia opór, który stosownie do okoliczności jest większy lub mniejszy, a zwłaszcza tym większy im prędzej ośrodek musi się otwierać dla przepuszczenia ciała, które przez to, z natury spadając ruchem przyspieszonym, doznaje wciąż rosnącego oporu; powstaje stąd opóźnienie i zmniejszenie nowo nabytych prędkości, tak że te w końcu, podobnie jak doznawane opory, dochodzą do tego stopnia, że się równoważą i znoszą wszelkie przyspieszenie, a ciało wprowadzają w ruch jednostajny, w którym ono dalej pozostaje. Więc powiększenie oporu w ośrodkach nie polega na żadnej zmianie ich istoty, ale na prędkości, z jaką ośrodek musi się otwierać i w bok usuwać, aby ciału spadającemu z przyspieszeniem dać przejście. Teraz, widząc, że opór, jaki stawia powietrze małemu momentowi spadającego pęcherzyka jest bardzo wielki, przeciwnie zaś wielkiemu ciężarowi ołowiu bardzo mały, dochodzę do wniosku, że, gdyby można było opór ten zupełnie usunąć i dać przez to pęcherzykowi jak największą wygodę a bardzo małą ciężarowi ołowianemu, to zrównałyby się ich prędkości. Stawiam przeto zasadę, że w przestrzeni próżnej albo skądinąd nie stawiającej żadnej przeszkody prędkościom ruchu, tak że wszystkie ciała poruszać się w niej będą z jednakową prędkością, będziemy mogli poznać dość dokładnie stosunki prędkości ciał podobnych i niepodobnych, poruszających się w tym samym ośrodku i w różnych ośrodkach zapełnionych, a przez to opornych. Dojdziemy do tego, biorąc pod uwagę, ile ciężar ośrodka ujmuje ciężarowi poruszającego się ciała, gdyż przewyżka ciężaru jest środkiem pomocniczym, za pomocą którego ciało przebija sobie drogę, odsuwając na boki części ośrodka, okoliczność, która nie zachodzi w próżni i dlatego nie ma tam różnicy, jakiej oczekiwać można z różności ciężaru gatunkowego. A ponieważ okazuje się stąd, że ośrodek odciąga tyle ciężkości poruszającemu się w nim ciału, ile waży wypchnięta część ośrodka, więc, zmniejszając w tej proporcji prędkość spadającego ciała, która byłaby równą w ośrodku nie opornym (jak to przypuszczono), otrzymamy to, czego szukamy. Przyjmując np. że ołów jest 10000 razy cięższy od powietrza, a heban tylko 1000 razy, to od prędkości obu tych ciał, które w ośrodku bez oporu byłyby równe, odejmie powietrze od ołowiu z 10000 stopni jeden, a od hebanu z 1000 stopni jeden, co znaczy z 10000 dziesięć. Gdy więc ołów i heban spadają w powietrzu z jakiejkolwiek wysokości, którą, gdyby opór powietrza był usunięty, przebyłyby w tym samym czasie, to powietrze odejmie od prędkości ołowiu z 10000 stopni jeden a od hebanu z 10000 dziesięć, co znaczy, że podzieliwszy wysokość spadku na 10000 części, ołów spadnie, gdy heban będzie za nim 10 mniej jeden czyli dziewięć części w tyle. A cóż jest innego, jeżeli znajdujemy, że spuszczając z wieży 200 łokciowej kulkę ołowianą to ona wyprzedza hebanową o 4 cale ? Heban waży 1000 razy więcej od powietrza, ale ten pęcherzyk, który był wydęty waży tylko cztery razy tyle; powietrze więc odciągnie od naturalnej prędkości hebanu z tysiąca stopni jeden, a od tej, która by dla pęcherzyka była absolutnie taką samą, powietrze nie odciągnie jak tylko z czterech części jedną. Gdy zatem kulka hebanu dosięgnie ziemi, pęcherzyk przeleci tylko 3/4 wysokości. Ołów jest dwanaście razy cięższy od wody, a kość słoniowa tylko dwa razy: woda więc od ich absolutnych prędkości, które byłyby równe, odciągnie dla ołowiu 1/12, a dla kości słoniowej 1/2: w wodzie więc, gdy ołów zejdzie jedenaście łokci, kość słoniowa zejdzie tylko na sześć. Rozumując według tej zasady, sądzę, że znajdziemy, iż doświadczenie ściślej odpowiada takiemu rachunkowi niż Arystotelesowemu. W podobny sposób znaleźć można stosunek między prędkościami tegoż samego ciała w różnych ośrodkach płynnych, nie przez porównywanie różnych oporów tych ośrodków, ale przez rozważanie przewyźek ciężkości ciała nad ciężkością ośrodków; cyna jest np. 1000 razy cięższa od powietrza, a 10 razy od wody, więc jeżeli podzielimy prędkość absolutną cyny na 1000 stopni, to w powietrzu, które z niej nie ujmuje 1/1000 części, poruszać się będzie z prędkością 999 stopni, a w wodzie tylko z prędkością 900 stopni, ponieważ woda ujmuje 1/10 część jej ciężkości a powietrze 1/1000. Niech będzie ciało nieco cięższe od wody np. drzewo dębowe i niech waży kula z niego 1000 drachm, a takaż kula wody 950, zaś powietrza 2, to oczywiście, przyjmując, że absolutna jej prędkość jest 1000 stopni, to w powietrzu byłaby 998, a w wodzie tylko 50 stopni, bo woda z jej 1000 stopni ciężkości zostawia tylko 50; ciało to więc poruszałoby się w powietrzu 20 razy prędzej niż w wodzie, gdyż przewyżka jego ciężkości nad ciężkością wody jest tylko dwudziestą częścią jego własnej. I co chciałbym jeszcze zauważyć, że opadanie w wodzie możliwe jest wtedy tylko, gdy ciężar gatunkowy ciała jest większy niż wody; a to są ciała wieleset razy cięższe od powietrza; dla znalezienia więc proporcji prędkości ich w wodzie i w powietrzu możemy bez znaczniejszego błędu rachować, że powietrze nic nie odejmuje momentowi absolutnej ciężkości, a więc i absolutnej prędkości tych ciał; znalazłszy więc łatwo przewyżkę ciężkości ciała nad ciężkością wody, powiemy, że jego prędkości w powietrzu i w wodzie mają się do siebie jak jego prędkość absolutna do przewyżki nad ciężkością wody. Np. kula z kości słoniowej waży 20 uncji, takaż sama z wody 17, a więc prędkość kuli w powietrzu i w wodzie mają się do siebie w przybliżonym stosunku 20 do 3.

SAGREDO: Wielki nabytek zrobiłem w jednej, samej przez się interesującej, kwestii, nad którą często, niestety bezskutecznie rozmyślałem; nic by już nie brakło do zużytkowania tych wywodów, jak tylko znalezienie sposobu oznaczania ciężkości powietrza w porównaniu z wodą, a więc i z innymi ciałami ważkimi.

SIMPLICIO: Ale gdyby znaleziono, że powietrze posiada nie ciężkość, ale lekkość, to cóż stąd wyniknie dla całego rozważania, skądinąd bardzo dowcipnego?

SALVIATI: Wypadałoby powiedzieć, że było powietrze lekkie i puste. Ale czyżbyście chcieli wątpić o ciężkości powietrza, choć macie jasny tekst Arystotelesa, utrzymujący, że wszystkie elementy mają ciężkość, a tak samo i powietrze? Czego dowodem (jak on dodaje) jest, że sakwa nadęta waży więcej niż wypróżniona.

SIMPLICIO: Że sakwa lub bania nadęta waży więcej, mniemałbym, że to pochodzi nie z ciężkości powietrza, ale z wielu, w niższych naszych okolicach domieszanych gęstych wyziewów, przy pomocy których ciężar sakwy wzrasta.

SALVIATI: Nie podoba mi się to, co mówicie, a mniej jeszcze, że powołujecie się na Arystotelesa, bo on, mówiąc o elementach i chcąc dowieść, że element powietrza ma ciężkość, uwidoczniłby to doświadczeniem; gdyby mi w swem dowodzeniu powiedział: biorę sakwę, napełniam ją gęstymi wyziewami i obserwuję przyrost ciężaru, odpowiedziałbym mu, że ważyłaby jeszcze więcej, gdyby była napełniona otrębami; ale dodałbym zaraz, że takie doświadczenia dowodzą tylko, że otręby i gęste wyziewy są ciałami ciężkimi, co do powietrza wszakże pozostaje taka sama wątpliwość jak i przedtem. Wszakże doświadczenie Arystotelesa jest dobre i zasada prawdziwa. Inaczej za to rzecz się ma z nauką innego filozofa, którego nazwiska nie pomnę, ale wiem, że ją czytałem, który dowodził, że powietrze jest raczej ciężkie niż lekkie, gdyż łatwiej ciężkie ciała niesie na dół niż lekkie do góry.

SAGREDO: Wybornie, doprawdy. Byłoby na mocy tego powietrze wiele cięższe od wody, jakkolwiek wszystkie ciała ciężkie spadają łatwiej w powietrzu niż w wodzie, a wszystkie lekkie łatwiej w wodzie niż w powietrzu, przeciwnie niezliczone ciała podnoszą się w wodzie a spadają w powietrzu. Ale, panie Simplicio, czy ciężkość sakwy pochodzi od ciężkich wyziewów czy od czystego powietrza, to się nic nie sprzeciwia naszej zasadzie, gdyż my badamy, jak się ciała poruszają w tej przestrzeni gazowej. Toteż wracając do tego, co mnie więcej zajmuje, chciałbym dla gruntownego i absolutnego zbadania tej kwestii nie tylko być zapewnionym, że powietrze jest ciężkie (gdyż uważam to za przesądzone), ale także dowiedzieć. się, jaka jest jego ciężkość. Przeto proszę pana Salviati o udzielenie nam o tym wiadomości, jakie posiada.

SALVIATI: Że powietrze ma ciężkość pozytywną, a nie, jak to myśleli niektórzy, lekkość, której nie ma w żadnej materii, tego dostatecznie dowodzi doświadczenie Arystotelesa z wydętym balonem, gdyby bowiem dany był powietrzu przymiot lekkości, to przy powiększaniu ściskania powietrza wzrastałaby lekkość a więc i popęd wznoszenia się do góry, a doświadczenie daje wynik przeciwny. Co do drugiej kwestii, jakim sposobem badać można ciężkość powietrza, to używałem następującej metody. Wziąłem dość dużą flaszkę szklaną, z wąską szyjką, którą nakryłem naparstkiem ze skóry, przylegającym mocno do zwężenia szyjki i mającym na wierzchu wstawioną i ściśle umocowaną błonkę, przez którą, za pomocą szprycki wtłaczałem z siłą do flaszki wielką ilość powietrza, które tak zostało zgęszczone, że można by było napełnić nim dwie do trzech innych flaszek, oprócz tego, które się w niej naturalnie znajdowało. Potem, na bardzo dokładnej wadze, zważyłem ściśle flaszkę wraz ze zgęszczonem w niej powietrzem, wyrównując wagę odrobiną piasku. Po otwarciu błonki i gwałtownern wyjściu ściśnionego powietrza, flaszka ponownie postawiona na wadze okazała się znacznie lżejszą i trzeba było dla jej zrównoważenia odjąć część piasku. Niewątpliwie ciężar tej części piasku był ściśle równy ciężarowi powietrza, które było w niej ściśnięte i w końcu wypuszczone. Doświadczenie to wykazało tylko, jaki był ciężar wypuszczonego z flaszki powietrza, równy ciężarowi odjętego piasku; ale ile ostatecznie i ściśle waży powietrze w porównaniu z wodą lub innymi ciałami ciężkimi, tego się nie dowiedziałem i nie mogłem wiedzieć, dopóki nie zmierzyłem ilości wypuszczonego powietrza. Aby tego dokonać, można postępować w dwojaki sposób. Pierwszy polega na wzięciu drugiej podobnej flaszki z szyjką, która także zaopatrzona jest w naparstek skórzany, ale otwarty i taki, że może obejmować naparstek z błonką pierwszej flaszki, do którego ściśle jest przywiązany. Ta druga flaszka ma otwór w dnie, przez który można wsuwać pręcik żelazny i z jego pomocą dziurawić błonkę i umożliwiać przejście zgęszczonego powietrza z pierwszej flaszki do drugiej, pełnej wody. Gdy wszystko przygotowane i błonka prętem przebita, powietrze wpada do flaszki napełnionej wodą i wypycha wodę przez otwór na zewnątrz; oczywiście tak otrzymana ilość wody równa będzie objętości powietrza, które wyszło z pierwszej flaszki. Zatrzymuje się tę wodę i waży flaszkę, z której wyszło powietrze (którą przypuszczam zważono przedtem z powietrzem ścieśnionym), odejmując, jak powiedziano, część piasku, która oczywiście wyraża ciężar tej objętości powietrza, jaka jest objętość wody, wypchniętej i wyciekłej; tę wodę ważymy i otrzymujemy, ile razy jej ciężar jest większy od ciężaru odjętego piasku; i bez błędu możemy orzec, ile razy cięższa jest woda od powietrza i to nie będzie dziesięć razy, jak oceniał Arystoteles, ale około czterystu, jak to wykazało doświadczenie.

Drugi sposób jest szybszy i może być przeprowadzony z jednem naczyniem, którem jest flaszka przygotowana, jak była mowa, z powietrzem, jakie się w niej naturalnie znajduje, bez wstrzykiwania nowego z zewnątrz; do tej flaszki wtłacza się wodę, nie wypuszczając powietrza, tak że się ono w niej zgęszcza. Po wprowadzeniu wody, ile tylko można, co wynosi około 3/4 objętości flaszki, ważymy flaszkę jak najdokładniej, a następnie odwracamy szyjką do góry i przebijamy błonkę; wychodzi wtedy z flaszki taka objętość powietrza, ile miejsca zajmuje pozostała we flaszce woda; po czym ważymy znów flaszkę i otrzymujemy, ile jej ubyło ciężaru przez wyjście powietrza; będzie to ciężar tej objętości powietrza, którą woda wypchnęła z flaszki.

SIMPLICIO: Nie mogę powiedzieć, aby obmyślone przez Was sposoby nie były eleganckie i dowcipne, zdaje mi się wszakże, że o ile na pozór są zadowalające, to znów z innej strony wywołują powątpiewanie. Mianowicie, w swojej własnej dziedzinie elementy niewątpliwie nie są ani ciężkie ani lekkie, toteż nie mogę pojąć, jak ta ilość powietrza, która niewiele co ważyła, dajmy na to cztery drachmy piasku, mogła jednak mieć tę ciężkość w powietrzu, w którym piasek ją równoważył: mnie się zdaje, że doświadczenie nie powinno było odbywać się w powietrzu, ale w innym ośrodku, w którym powietrze wykazywać by mogło swoją zdolność ciążenia, jeżeli takową posiada.

SALVIATI: Zarzut pana Simplicio jest ciężki i, albo nie ma nań odpowiedzi, albo też odpowiedź winna być nie mniej subtelna. Że to powietrze, które zostało zgęszczone i dało się zważyć odjęciem piasku, skoro wróciło do swego elementu, nie było już możliwe do zważenia, to prawda; zważyć można było tylko piasek; toteż dla wykonania takiego doświadczenia powinno by być wybrane takie miejsce, w którym i powietrze i piasek mogłyby ciążyć; bo, jak już była mowa, ośrodek odciąga od każdego z zanurzonych w nim ciał tyle z ich ciężaru, ile waży wypchnięta przez nie część ośrodka, tak że powietrze od powietrza odciąga cały ciężar; gdybyśmy chcieli postępować ściśle, musielibyśmy ważyć w próżni, gdzie każde ciało wywiera swój moment, bez żadnego zmniejszenia. Gdybyśmy więc mogli, panie Simplicio, zważyć pewną ilość powietrza w próżni, to czy byłbyś pan wtedy objaśniony i upewniony?

SIMPLICIO: Tak istotnie, ale to jest życzenie lub wymaganie niemożliwości.

SALVIATI: Będziecie mi więc obowiązani, gdy stosownie do życzenia uskutecznię Wam tę niemożliwość, inaczej nie mógłbym Wam sprzedać tego, co przed chwilą Wam dałem, bo w opisanym doświadczeniu ważyliśmy powietrze w próżni, a nie w powietrzu lub innym wypełnionym ośrodku. Że każde ciało, panie Simplicio, zanurzone w ośrodku płynnym, doznaje ubytku ciężaru, pochodzi to stąd, że ośrodek opiera się rozwarciu, wyparciu i podniesieniu; oznaką tego jest pośpiech, z jakim ośrodek wypełnia przestrzeń, którą jakie wielkie ciało przedtem w nim zajmowało; gdyby ośrodek nie odczuwał zanurzenia, nie oddziaływałby przeciw niemu. Powiedźcie mi więc, jeżeli macie w powietrzu flaszkę omawianą, napełnioną powietrzem naturalnym, jakiż to rozdział, parcie i w ogóle jaką zmianę zrobiło w powietrzu zewnętrznym to powietrze, które zostało gwałtownie wtłoczone do flaszki. Czyż powiększyła się flaszka, żeby powietrze otaczające musiało odstępować dla zrobienia miejsca? Oczywiście nie: możemy więc powiedzieć, że powietrze ściśnięte nie jest zanurzone w otaczającym, bo ono żadnej w nim przestrzeni nie zajmuje, a jest jakby umieszczone w próżni; i rzeczywiście znajduje się ono w próżni, zmieszane z niezupełnie tę próżnię wypełniającem powietrzem naturalnym.

W istocie nie ma żadnej różnicy między dwoma przypadkami otaczającego ośrodka, gdyż w jednym nie wywiera ten ośrodek żadnego ciśnienia na to, co jest otoczone, a w drugim znów to, co jest otoczone, nie działa zupełnie na ośrodek otaczający; i umieszczenie ciala w próżni jest tym samym co ściśnięcie powietrza we flaszce. Znaleziony więc ciężar ściśniętego powietrza jest ten sam, jaki by miało to powietrze po rozejściu się w próżni. Zapewne, że w próżni ważyłby piasek nieco więcej, ale dodać trzeba, że powietrze ściśnięte nieco więcej ważyło niż piasek, lecz tylko tyle więcej, ile ważyłaby w próżni wypchnięta przez piasek mała ilość powietrza.

SIMPLICIO: Zdawało mi się, że te doświadczenia zostawiały coś do życzenia; ale obecnie jestem zupełnie zaspokojony.

SALVIATI: Kwestie, jakie roztrząsałem, a właszcza ta, że różnica ciężkości, choćby największa, nie ma żadnego udziału w różnicy prędkości spadku, tak że raczej wszystkie ciała poruszają się spadając z jednakową prędkością, kwestia ta jest zupełnie nową, na pierwszy rzut oka nieprawdopodobną, tak że, gdyby nie można jej było dostatecznie rozświetlić i przedstawić jaśniejszą od słońca, byłoby lepiej o niej zamilczeć niż mówić; skoro jednak już mi z ust wyszła, to nie mogę pominąć doświadczenia czy dowodu, który może się przyczynić do jej rozwiązania.

SAGREDO: Nie tylko to, ale także wiele innych Waszych podań są tak dalekie od poglądów i nauk ogólnie przyjętych, że rozpowszechnione publicznie wzbudzą znaczną liczbę oponentów, gdyż wrodzoną właściwością człowieka jest: choć się ma dobre oczy, nie widzieć tego, co odkrywa inny, przez swą wprawę w odróżnianiu prawdy od fałszu; niemiłą dla wielu uszu nazwą nowatorów w nauce starają się rozcinać węzły, których sami nie mogą rozwiązać, burząc podziemnYmi minami budowle, przez cierpliwych mistrzów wzniesione: dalecy od tych niedorzeczności przyjmujemy Wasze doświadczenia i wywody bez niepokoju; ale jeżeli macie jeszcze więcej dotykalne doświadczenia i skuteczniejsze wywody, wysłuchamy ich bardzo chętnie.

SALVIATI: Doświadczenie z dwoma ciałami, jak najwięcej różnego ciężaru, które spadają z wysokości, dla obserwowania, czy ich prędkości są równe, przedstawia pewną trudność, bo przy większej wysokości ośrodek, który pod impetem spadającego ciała wciąż się rozwiera i odrzucany jest na boki, ma większy wpływ na mały moment bardzo lekkiego ciała, niż na gwałtowność bardzo ciężkiego, gdyż przy długiej przestrzeni lekkie ciało zostawać będzie w tyle, a przy malej wysokości wątpić można, czy jest jaka różnica, gdyż zaledwie można ją dostrzec. Dlatego rozważałem, czy nie można by powtarzać spadku wielokrotnie na niewielkich wysokościach i gromadzić razem tylu ile można małych różnic czasu przybycia do kresu ciała ciężkiego i ciała lekkiego, które razem dałyby czas nie tylko możliwy, ale nawet bardzo się nadający do zaobserwowania. Z drugiej strony, dla możliwości badania jak najpowolniejszych ruchów, przy których dla braku pracy oporu ośrodka, zmieniającej działanie zależne od samej ciężkości, umyśliłem spuszczać ciała wzdłuż słabo nachylonej płaszczyzny, bo i przy takim spadku, tak samo jak i przy swobodnym, można dostrzec, jak się poruszają ciała różnego ciężaru; idąc dalej, chciałem się jeszcze oswobodzić od przeszkód, powstających przy zetknięciu ciała z płaszczyzną nachyloną: w końcu wziąłem dwie kulki, jedną z olowiu a drugą z korka, jedną sto razy cięższą od drugiej i zawiesiłem obie na dwóch cienkich sznurkach jednakowej długości, od czterech do pięciu łokci; odchylając obie kulki od ich zawieszenia pionowego, puszczałem je swobodnie i one spadały po okręgach kół jednakowego promienia, przekraczały położenia pionowe sznurków i tą samą drogą wracały, a po stu wahaniach w jedną i drugą stronę okazało się wyraźnie, że ciało ciężkie poruszało się tak równocześnie z lekkiem, że ani w stu ani tysiącu wahań nie dała się zauważyć jak najmniejsza różnica; chodziły zupełnie równym krokiem, zauważyć się też dawał wpływ ośrodka, stawiający pewien opór ruchowi i znacznie wydatniej zmniejszający wahania kulki korkowej niż ołowianej, ale nie czyniący częstszymi jednych od drugich, nawet gdy łuki przebywane przez korek wynosiły tylko pięć do sześciu stopni a łuki ołowiu pięćdziesiąt do sześćdziesięciu stopni, dokonywane jednak zawsze w tym samym czasie.

SIMPLICIO: Jeżeli tak jest, to dlaczegóż by prędkość ołowiu nie była większą niż korka, skoro jeden przebywał 60^o gdy drugi w tymże czasie zaledwie 6^o.

SALVIATI: Ale cóż byście powiedzieli, panie Simplicio, gdyby oba w równych czasach przebywały swe drogi, nawet jeżeli by korek przy 30° odchylenia miał do przebycia 60°, a ołów przy 2° tylko 4°? Czyż nie szybszym byłby korek? a doświadczenie stwierdza, że tak się dzieje; więc zauważcie: odchylając wahadło ołowiane np. na 50° od pionu i poruszając je swobodnie, to opisze ono z drugiej strony pionu prawie 50°, razem 100°, z powrotem zaś łuk trochę mniejszy aż po wielu wahaniach dojdzie do spoczynku. Każde z tych wahań odbywa się w czasie, który pozostaje stale równy, czy to przy 90° czy przy 50°, 20°, 10° lub 4°, tak że prędkość wciąż się zmniejsza, bo w równych czasach opisane zostają coraz mniejsze łuki. Podobne a nawet zupełnie takie samo zjawisko przedstawia korek, zawieszony na sznurku tej samej długości, tylko że on po mniejszej liczbie wahań dochodzi do spoczynku, jako mniej zdolny, z powodu swej lekkości, do pokonywania oporu powietrza: tak więc wszystkie wahania odbywają się w równych czasach i tych samych co i wahania ołowiu. Prawdą więc jest, że podczas gdy ołów przebywa łuk 50°, to korek tylko 10° i korek porusza się wolniej od ołowiu, lecz zdarza się znów przeciwnie, że korek przebywa 50° a ołów 10° lub 6° i tym sposobem w różnych czasach raz szybszym jest ołów, drugi raz korek; ale jeżeli te ciała w równych czasach opisują równe tuki, wtedy można powiedzieć na pewno, że ich prędkości są równe.

SIMPLICIO: Wydaje mi się i nie wydaje, aby ta rozprawa była konkludującą i czuję w umyśle takie zamieszanie, że zdaje mi się, jakby jedno i drugie ciało poruszało się raz prędzej, drugi raz wolniej i nie mogę sobie jasno wytłumaczyć, żeby ich prędkości były zawsze równe.

SAGREDO: Pozwól mi, pan, panie Salviati, odpowiedzieć dwa słowa. Powiedźcie mi, panie Simplicio, czy przyjmujecie za pewne, że prędkości korka i ołowiu są równe każdorazowo, gdy te ciała wychodzą oba w tej samej chwili ze stanu spoczynku i, poruszając się po tej samej pochyłości, przebywają równe przestrzenie w równych czasach?

SIMPLICIO: O tym nie można wątpić ani temu przeczyć.

SAGREDO: Niech więc będą wahadła, z których każde opisuje 60°, lub 50°, lub 30°, lub 10°, lub 8°, 40°, 20° i jeżeli oba biegną 60°, to przebywają je w tym samym czasie: łuk 50° także jedno i drugie w tym samym czasie jak również łuki 30°, 10° i inne: stąd więc się wnioskuje, że prędkość ołowiu na łuku 60° jest równa prędkości korka na tym samym łuku 60°, i że prędkości na łuku 50° są także sobie równe itd. Ale nie utrzymuje się, że prędkość przy 60° jest równa prędkości przy 50°, ani ta ostatnia prędkość przy 30°, lecz że przy łukach mniejszych prędkości są zawsze mniejsze; toteż widzimy to samo ciało zużywające tyleż czasu na przebieżenie 60°, jak i łuków 50° lub 10° i w ogóle łuków każdej wielkości. Chociaż więc korek i ołów biegną z wciąż mniejszemi prędkościami, im mniejsze przebywają łuki, nie zmienia to jednak ich zgodności w utrzymywaniu jednakowych prędkości przy przebywaniu jednakowych tuków. Powiedzieć to chciałem więcej dla zobaczenia, czy dobrze zrozumiałem wykład p. Salviatiego, niż dlatego, abym przypuszczał, że p. Simplicio da lepsze objaśnienie od tych, jakie dał p. Salviati, który zawsze mówi tak zupełnie jasno i nie tylko podnosi pozorne trudności, ale rozwiązuje istotne zagadki natury, z rozważaniami, obserwacjami i badaniami, które każdemu są dostępne; dało to sposobność (jak o tym od wielu słyszałem) jednemu z cenionych profesorów lekceważyć jego nowości, utrzymując, że są marne i na zbyt niskich i popularnych oparte podstawach, tak jakby najwięcej uwielbianymi i najcenniejszymi właściwościami nauk doświadczalnych nie było właśnie wynajdywanie i wyciąganie ich z zasad najwięcej znanych, zrozumianych i przyjętych przez wszystkich. Ale przestańmy karmić się tą lekką strawą i w przypuszczeniu, że p. Simplicio uspokoił się co do tego, że ciężkość ciał nie wywołuje różnicy prędkości, tak że przy różnej ciężkości wszystkie jednakowo się poruszają, proszę, aby p. Salviati zechciał nam powiedzieć, na czym polegają zauważone i widoczne nierówności ruchu; a także odpowiedzieć na replikę pana Simplicia, z którą się zgadzam i według której nie tylko kula armatnia porusza się prędzej od ziarnka śrutu, choć z małą różnicą prędkości, czemu przeciwstawiam ciała jednakowej materii, z których większe spadają w ciągu mniej niż jednego uderzenia pulsu, w połowie tego czasu, podczas gdy inne mniejsze nie spadną i w ciągu godziny, albo czterech albo i dwudziestu; jak się to dzieje z kamieniami i nadzwyczajnie miałkim piaskiem, zawieszonym w mętnej wodzie, który w tym ośrodku opada na dwa łokcie w ciągu wielu godzin, podczas gdy niewielkie kamienie spadają w ciągu jednego uderzenia pulsu.

SALVIATI: Że ośrodek więcej opóźnia ciała gatunkowo lżejsze, to było już powiedziane i objaśnione zmniejszeniem ciężaru. Ale dlaczego ten sam ośrodek rozmaicie zmniejsza prędkość ciał, różniących się tylko wielkością, przy jednakowym materiale i kształcie, to się da objaśnić tylko badaniem subtelniejszem od tego, w którym wystarczało do objaśnienia, że ciało jest większe, albo że ruch ośrodka przeciwny ruchowi ciała zmniejsza jego prędkość. Przyczynę obecnie roztrząsanego zjawiska upatruję w spotykanych na powierzchniach ciał stałych chropowatościach i porowatościach, które to nierówności uderzają o powietrze lub inny ośrodek otaczający, skutkiem czego dochodzi do nas brzęczenie ciał, nawet gdy są o ile można zaokrąglone; podczas gdy bardzo prędko biegną w powietrzu, to nie tylko brzęczą, ale piszczą i świszczą, jeżeli mają znaczniejsze wgłębienia i wypukłości. Przy kręceniu na tokarni każde ciało okrągłe wytwarza trochę wiatru. Ale co więcej? czyż nie słyszymy znacznego brzęczenia, nawet w tonie dość ostrym, jakie sprawia bąk kręcący się na ziemi z wielką szybkością? Ton piszczałki jest tym niższy, im wolniej była wiercona: dowodzi to, że chropowatości uderzają o powietrze, jakkolwiek mała jest ich powierzchnia. Toteż nie można wątpić, że przy spadku ciał, ocierających się o płyn, który je otacza, powstaje zwalnianie prędkości tym większe, im powierzchnia będzie większą od powierzchni ciał mniejszych, porównywanych z większymi.

SIMPLICIO: Zatrzymajcie się proszę, bo zaczyna mi się mieszać: gdyż, jeżeli godzę się na to, że tarcie ośrodka o powierzchnię opóźnia ruch, i to tym (ceteris paribus) więcej im większa jest powierzchnia, to znów nie rozumiem, dlaczego powierzchnie mniejszych ciał nazywacie większymi; i dalej, jeżeli, jak mówicie, większa powierzchnia doznaje większego oporu, to właśnie większe ciała więcej się winny opóźniać, a przecież tak się nie dzieje: ale tę trudność łatwo usunąć, gdy się powie, że większe ciała mają wprawdzie większe powierzchnie, ale także i większy ciężar, tak że przeszkody przy większej powierzchni nie mają jednak tego wpływu, co przeszkody przy małej powierzchni i małym ciężarze, więc prędkość większego ciała nie może być mniejsza. Nie widzę przeto przyczyny, dla której by ustawała równość prędkości, bo gdy się zmniejsza ciężar, zmniejsza się także działanie opóźniające powierzchni.

SALVIATI: Odpowiem razem na wasze zarzuty. Zgadzacie się na to, panie Simplicio, że mając dwa równe ciała, jednakowej materIi i kształtu (które niewątpliwie równie prędko będą się poruszały), jeżeli się zmniejszy jednakowo tak ciężar jednego, jak i jego powierzchnie (przy czym kształt pozostaje nie zmieniony), to nie zmniejszy się przez to jego prędkości.

SIMPLICIO: Zdaje mi się, że tak być powinno, gdyż przyjmujemy, że większy i mniejszy ciężar nie posiadają różnych prędkości.

SALVIATI: Tego też nie utrzymuję i jednocześnie trzymam się waszego wniosku, że jeżeli ciężar zmniejsza się w większej proporcji niż powierzchnia, to może powodować wciąż rosnące opóźnienie ruchu, im większe będzie zmniejszanie ciężaru w stosunku do zmniejszania powierzchni.

SIMPLICIO: Przeciwko temu nie mam żadnego sprzeciwu.

SALVIATI: Wie pan, panie Simplicio, że nie można zmniejszać powierzchni ciała w jednakowym stosunku z ciężarem, przy utrzymywaniu wciąż podobnego kształtu. Bo ciężar zmniejsza się razem z objętością, a jeżeli objętość zmniejszy się więcej niż powierzchnia, to i ciężar więcej od powierzchni zostanie zmniejszony. Ale geometria uczy, że o wiele większy jest stosunek objętości dwóch ciał podobnych od stosunku powierzchni. Dla bliższego objaśnienia weźmy przykład. Wyobraźmy sobie sześcian o dwucalowej krawędzi, to każda jego ściana będzie miała cztery cale kw., a sześć ścian dwadzieścia cztery cale kw. Trzema przecięciami podzielmy ten sześcian na osiem małych sześcianów o krawędzi jednocalowej i ścianie jednego cala kw., to powierzchnia małego sześcianu wynosić będzie sześć cali kw., podczas gdy powierzchnia większego była 24 cali kw. Powierzchnia więc zmniejszyła się w stosunku 1/4, a objętość w stosunku 1/8: objętość więc, a z nią i ciężar, zmniejszają się znacznie więcej niż powierzchnia. A jeżeli podzielić jeszcze mały sześcian na osiem mniejszych, to każdy z nich będzie miał półtora cala kw. powierzchni, a więc 1/16 powierzchni wielkiego sześciana a objętość 1/64. Widzicie więc, jak przy dwóch tylko podziałach objętość zmniejsza się cztery razy więcej niż powierzchnia; jeżeli zaś dalej dzielić będziemy, aż dojdziemy do drobnego proszku, to objętość zmniejszy się sto i więcej razy więcej od powierzchni. A to, co widzieliście z sześcianem, dzieje się także z innymi podobnemi bryłami, których objętości stoją w półtoracznej proporcji do powierzchni. Widzicie więc, w jak znacznie większej proporcji wzrosła przeszkoda, przy zetknięciu poruszającego się ciała małego z ośrodkiem, niż ciała większego; oprócz tego jest zapewne chropowatość: w małych powierzchniach proszku nie mniejsza aniżeli w większych ciałach, które bywają starannie wygładzone: zauważcie przy tym, jak bardzo jest potrzebne, aby ośrodek był płynny i zupełnie nie stawiał oporu, żeby tak wątłą siłą mógł być otwierany i ustępował dla umożliwienia przejścia. Widzicie więc, panie Simplicio, że się nie myliłem mówiąc, że powierzchnia małych ciał jest wielka w porównaniu z powierzchnią ciał wielkich.

SIMPLICIO: Jestem całkowicie przekonany i zdaje mi się, że, gdybym miał na nowo rozpoczynać moje studia, poszedłbym za radą Platona i zaczynałbym od matematyki, gdyż ta postępuje bardzo skrupulatnie, przyjmując za rzecz pewną to tylko, co jest ściśle dowiedzione.

SAGREDO: Miałem wielką przyjemność w tej rozmowie, ale zanim pójdziemy dalej, pragnąłbym zrozumieć jedno orzeczenie, które mi się wydało nowe, gdy przed chwilą powiedzieliście, że objętości ciał podobnych mają się do siebie w stosunku półtoracznym powierzchni; jakkolwiek bowiem dobrze zrozumiałem twierdzenie i dowodzenie, że powierzchnie ciał podobnych stoją do siebie w podwójnym stosunku boków i drugie, że objętości tychże ciał stoją do siebie w potrójnym stosunku tychże boków, ale o stosunku objętości do powierzchni nie przypominam sobie, aby było co mówione.

SALVIATI: Waszmość sama sobie odpowiada, a oświadcza, że wątpi. Gdy jedno jest potrójne, a drugie podwójne, to czyż pierwsze nie jest półtoracznym drugiego? Oczywiście że tak. Więc ponieważ powierzchnie stoją w podwójnym stosunku do linii, a objętości w potrójnym, to czyż nie możemy powiedzieć, że objętości stoją w półtoracznym stosunku do powierzchni?

SAGREDO: Rozumiem to doskonale. Ale, choćbym jeszcze nie jedno miał do zauważenia, oddaliłoby to nas jeszcze więcej od wytkniętego celu, tj. od objaśnienia wytrzymałości na złamanie; toteż, jeżeli pozwolicie, może teraz do tego przyjdziemy, co było postawione na początku.

SALVIATI: Masz pan słuszność, ale różne dotąd podniesione kwestie zabrały nam tyle czasu, że dziś już mało co tylko mówić będziemy mogli o tej głównej kwestii, pełnej dowodzeń geometrycznych, które muszą być z uwagą rozpatrywane; może więc byłoby lepiej odłożyć rozmowę do jutra, tak z tego powodu, jak i dlatego, że mógłbym przynieść ze sobą niektóre pisma, w których zestawiłem w porządku wszystkie do tego się odnoszące twierdzenia i zadania, gdyż przy całej pamięci nie mógłbym sobie ich przypomnieć z potrzebną metodą.

SAGREDO: Doskonale się pogodzę z tą radą i to tym chętniej, że na zakończenie dzisiejszego posiedzenia będę miał czas prosie o rozjaśnienie niektórych wątpliwości dotyczących ostatnio traktowanego przedmiotu. Jedną z nich jest, czy opór ośrodka może wystarczać do zniweczenia przyspieszenia ciał z najcięższej materii, wielkiej objętości i kulistego kształtu; wybieram ten kształt dlatego, że kula ma najmniejszą powierzchnię, a zatem mniej jest narażona na opóźnienie. Drugą kwestią jest ruch wahadła i to z dwóch względów: po pierwsze, czy rzeczywiście wszystkie wahadła, wielkie, średnie i małe, wahają się w ściśle równych czasach i powtóre w jakiej proporcji są do siebie czasy wahań wahadeł nierównej długości.

SALVIATI: Pytania są piękne, gdy jednak przy każdej prawdzie napotyka się zawsze nowe interesujące wnioski, wątpię bardzo, aby reszta dzisiejszego dnia wystarczyła nam dla roztrząśnienia wszystkich.

SAGREDO: Jeżeli one tak piękne, jak dotąd poruszane, to wolę im poświęcić tyle dni, ile nam dziś godzin zostaje do nocy i sądzę, że pan Simplicio nie będzie znudzony tą rozmową.

SIMPLICIO: Oczywiście nie, a zwłaszcza, jeżeli rozbierane będą kwestie odnoszące się do rzeczy przyrodzonych, których nie dotykali inni filozofowie.

SALVIATI: Przejdziemy więc do pierwszego twierdzenia, orzekającego, bez żadnej wątpliwości, że nie ma kuli tak wielkiej i ciężkiej, której by przyspieszenia nie zmniejszał opór ośrodka choćby jak najrzadszego i przy dalszym ruchu nie sprowadzał go do jednostajności, czego jasny dowód daje nam samo doświadczenie. Bo gdyby ciało spadające dochodzić mogło w dalszym swym ruchu do jakiegokolwiek stopnia prędkości, to żadna prędkość udzielona mu przez motor zewnętrzny nie mogłaby być tak wielka, aby się ono jej nie pozbyło i nie straciło wskutek oporu ośrodka. Np. kula armatnia, spadająca z wysokości 4 łokci, nabywa 10 stopni prędkości i jeżeli z tą prędkością spada do wody, to gdyby opór wody nie mógł pokonywać tego impetu (impeto), prędkość będzie się zwiększać, a przynajmniej trwać aż do dna; co nie następuje, a przeciwnie, woda, choćby tylko parę łokci głęboka, zwalnia bieg i osłabia do tego stopnia, że koryto rzeki lub jeziora otrzyma bardzo słabe tylko uderzenie. Jasne w tym jest, że prędkość, którą woda na bardzo krótkiej drodze potrafiła zniszczyć, nie mogłaby być nabyta nawet na głębokości 1000-ca łokci. I dlaczego tolerowalibyśmy jej nabycie na 1000-cu łokci, podczas gdy na 4-ch została zniszczona? Ale więcej jeszcze, czyż nie widzimy, jak niezmierny impet kuli armatniej bywa całkowicie zniesiony w paru łokciach wody, że bez istotnego uszkodzenia okrętu zaledwie takowy dziurawi? Albo powietrze, pomimo swej ustępliwości, może hamować prędkość spadającego dość ciężkiego ciała, co moglibyśmy udowodnić podobnymi doświadczeniami; bo jeżeli z wierzchołka bardzo wysokiej wieży strzelimy ku ziemi, to kula mniej głęboko w nią wejdzie niż gdyby strzał nastąpił z wysokości czterech lub sześciu łokci; dowód oczywisty, że impet, z którym leciała kula z lufy na wierzchu wieży, zmniejszał się w powietrzu; spadek więc z jak największej wysokości nie wystarcza do nabycia impetu, który odejmuje powietrze, gdy ten impet w jakikolwiek sposób został udzielony. Podobnie uszkodzenie, jakie robi w murze uderzenie kuli, wystrzelonej z muszkietu w odległości dwudziestu łokci, nie sądzę, aby mogło być zrobione strzałem pionowym z jakiejkolwiek wysokości. Dlatego sądzę, że każde przyspieszenie ciała naturalnego ma swój koniec i że ostatecznie, skutkiem oporu ośrodka, ruch sprowadzony zostaje do jednostajności, w której następnie wciąż pozostaje.

SAGREDO: Doświadczenia wydają mi się zupełnie zadowalające, zarzucić by można tylko, czy dałyby się sprawdzić z ciałami bardzo wielkimi i ciężkiemi i czy kula armatnia przychodząca z księżyca lub z najwyższej warstwy powietrza nie sprawiłaby silniejszego uderzenia niż wychodząca z armaty.

SALVIATI: Niewątpliwie można wszystkiemu oponować i nie wszystko da się dowieść doświadczeniem, w tym zarzucie wszakże, zdaje mi się, że jedna rzecz winna by być wzięta pod uwagę: a mianowicie, bardzo jest prawdopodobne, że ciało z wysokości spadające nabywa takiego impetu dochodząc do ziemi, jaki by wystarczał, aby się podniosło do tej samej wysokości, co widzimy wyraźnie na wahadle, które na 50° do 60° odchylone od pionu nabywa taką prędkość i własność, która akuratnie wystarcza, aby się równie wysoko podniosło, pomijając niewielką stratę spowodowaną oporem powietrza. Aby więc kulę armatnią podnieść na wysokość, która by wystarczała do nabycia tak wielkiej prędkości, jak przy wyjściu z działa, winnob y wystarczać, aby ją wystrzelić pionowo z tegoż działa i zaobserwować, czy spadając sprawi to samo uderzenie, jak przy strzale z bezpośredniego sąsiedztwa; sądzę, iż prawdopodobnie różnica nie byłaby wielka. Sądzę przeto, że prędkość, jaką ma kula armatnia tuż przy wyjściu z działa, będzie taka, jakiej nigdy nie pozwoliłby nabyć opór powietrza, choćby kula spadała swobodnie wychodząc ze spoczynku, z jak największej wysokości. Przechodzę teraz do drugiej kwestii, dotyczącej wahadła, przedmiotu, który wielu wydaje się dość oschłym, a zwłaszcza tym filozofom, którzy są stale zajęci badaniem najgłębszych zadań przyrody; ale ja nie będę gardził tym zadaniem, zachęcony przykładem samego Arystotelesa, którego zawsze podziwiam, że się wszystkiem zajmuje, co tylko godne jest uwagi; mógłbym wam także zakomunikować niektóre myśli dotyczące muzyki, przedmiotu najszlachetniejszego, o którym wielu pisało znakomitych ludzi, a nawet i sam Arystoteles rozważał odnośne a liczne ciekawe zadania; tak że jeżeli Wam wyłożę, na podstawie łatwych a dowcipnych doświadczeń, niektóre zadziwiające zjawiska w dziedzinie dźwięków, mani nadzieję, że rozważanie moje przyjmiecie.

SAGREDO: Będziemy za nie bardzo wdzięczni i, co do mnie, spełni się moje gorące życzenie, gdyż, zajmując się wszystkiemi instrumentami muzycznYmi i rozmyślając wiele nad współdźwięcznością, nie mogłem nigdy pojąć, skąd to pochodzi, że jedno mnie zadowala, a drugie nie tylko, że nie zadowala, ale nawet w najwyższym stopniu się nie podoba. Znane zadanie dwóch strun naciągniętych do równodźwięczności, z których, gdy jedna dźwięk wydaje, to druga się porusza i tak samo dźwięczy, nie jest dla mnie jasne, a także nie rozumiem dobrze formy współdźwięku i innych szczegółów.

SALVIATI: Zobaczmy, czy nasze wahadła nie mogą nam dostarczyć rozwiązania tych wszystkich wątpliwości. A co do pierwszej, mianowicie, czy ściśle jest prawdziwe, że wahadło wszystkie swoje wahania wielkie, średnie i małe uskutecznia w równych czasach, powołuję się tu na wywody naszego Akademika, który wykazał, że ciało spadające wzdłuż cięciwy jakiegokolwiek łuku, zawsze spada w ciągu tego samego czasu, czy ten łuk ma całe 180°, czy też 100° 60°, 2°, 1/2° albo 4°; przy czym wszystkie dochodzą do najniższego punktu łuku. Następnie, ciała spadające wzdłuż łuków tych cięciw podnoszących się nad poziom nie więcej jak na 90°, spadają, jak wykazuje doświadczenie, wszystkie w równych czasach, ale nieco krótszych niż przy spadku po cięciwach; zjawisko tym więcej zadziwiające, że można było oczekiwać skutku przeciwnego. Jeżeli bowiem jednakie są początki i końce ruchów, a linia prosta jest najkrótszą drogą między tymi punktami, wydawałoby się racjonalne, że ruch po tej linii winien trwać najkrócej, a jednak tak nie jest; najkrótszy czas i najprędszy ruch odbywa się wzdłuż łuku, którego ta prosta jest cięciwą. Przy wahadłach różnej długości, czasy mają się do siebie tak, jak pierwiastki kwadratowe z długości, albo inaczej, długości mają się do siebie tak, jak kwadraty z czasów wahań; gdy jedno wahadło ma się poruszać dwa razy wolniej niż drugie, to musi być cztery razy dłuższe: jeżeli chcecie np., aby czas jednego wahania wahadła byt dwa razy większy od czasu wahania drugiego wahadła, to trzeba, aby jego długość była cztery razy większa, od długości drugiego wahadła. A gdy podczas jednego wahania jednego wahadła, drugie zrobi trzy wahania, to długość pierwszego musi być dziewięć razy większa od długości drugiego. Wynika stąd, że długości wahadeł mają się do siebie w stosunku kwadratów z liczby wahań dokonanych w ciągu tego samego czasu.

SAGREDO: Więc, jeżeli dobrze zrozumiałem, to mogę szybko obliczyć długość wahadła niezmiernie wielkiego, nawet gdyby jego punkt zawieszenia był niewidzialny, jeżeli tylko obserwować mogę jego koniec dolny. Dość będzie, gdy zawieszę u spodu dość znaczny ciężar i wprawię go w ruch, to w jedną, to w drugą stronę, a przyjaciel zacznie liczyć wahania, ja zaś równocześnie liczyć będę wahania drugiego wahadła, którego długość jest ściśle równa jednemu łokciowi, z liczb wahań tych wahadeł, dokonywanych w tym samym czasie, znajdę długość pierwszego wahadła; jeżeli np. założymy, że mój przyjaciel policzy t dwadzieścia wahań długiego wahadła, a ja policzyłem dwieście czterdzieści mojego łokciowego; to, podnosząc do kwadratu liczby 20 i 240, otrzymamy 400 i 57600; powiem wtedy, że długi sznur zawiera 57600 miar takich, jakich jest 400 w łokciu; a więc, dzieląc 57600 przez 400, otrzymamy długość wielkiego wahadła 144 łokci.

SALVIATI: Nie pomylicie się ani na piędź, zwłaszcza jeżeli brać będziecie wielkie liczby wahań.

SAGREDO: Waszmość daje mi często sposobność podziwiania bogactwa, a zarazem największej hojności natury, gdy z prostych, prawie trywialnych rzeczy wyciąga wiadomości wysoce ciekawe, nowe i dalekie od wszelkiej imaginacji. Pewno tysiące razy obserwowałem wahania żyrandoli, wiszących w kościołach na bardzo długich sznurach, niezauważone przez nikogo, lecz nie wyciągnąłem nic więcej z tych obserwacji, jak tylko nieprawdopodobieństwo poglądu tych, którzy mniemali, że podobne ruchy utrzymywane są przez ośrodek otaczający, a więc przez powietrze; bo zdawało mi się, że powietrze miałoby wielkie zadanie do spełnienia a jednocześnie małą robotę, tracąc godziny i godziny na popychanie, to w jedną to w drugą stronę zawieszonego ciężaru z taką regularnością, ale, żebym się miał dowiedzieć, że jedno i to samo ciało, zawieszone na stułokciowym sznurze i odchylone czy to na 90° czy na 1° lub 1/2°, tyleż czasu potrzebuje na przebieżenie małego łuku jak i wielkiego, temu nie mogę uwierzyć i wciąż wydaje mi się to niemożliwe. A teraz ciekaw jestem usłyszeć owe zjawiska dźwiękowe, które nie przestają mnie niepokoić.

SALVIATI: Przede wszystkiem trzeba zaznaczyć, że każde wahadło ma tak stały i określony czas wahań, że nie można go w żaden sposób poruszać w innym okresie jak w tym jedynym jego naturalnym. Jeżeli wezmę w rękę sznurek, na którym zawieszony jest ciężar i będę się starał jakimkolwiek sposobem zwiększać lub zmniejszać liczbę jego wahań, będzie to próżna fatyga; przeciwnie znów, wahadłu w spoczynku, choćby najcięższemu, możemy przez jedno nań dmuchnięcie nadać ruch i to tym większy jeżeli powtarzać będziemy dmuchnięcia w chwilach odpowiadających wahaniom; jeżeli pierwszem dmuchnięciem odchylimy wahadło od pionu na 1/2 cala, to dodając drugie dmuchnięcie wtedy, gdy wahadło ku nam wróciło po ukończeniu pierwszego wahania, nadamy mu nowy ruch, a gdy tak wciąż dmuchać będziemy w chwilach właściwych, a nie wtedy gdy wahadło ku nam idzie (bo to hamowałoby ruch a nie pobudzało), to tymi wieloma popędami (impulses) nadać mu możemy taki impet (impeto), ze zużyta by być musiała siła znacznie większa od jednorazowego dmuchnięcia, aby wahadło zatrzymać.

SAGREDO: Dzieckiem jeszcze będąc, widziałem jak jeden człowiek, przez popychanie we właściwych czasach wielkiego dzwonu, wywoływał dzwonienie, a, żeby je zatrzymać, wieszało się na linie czterech do sześciu ludzi i nieraz lina podnosiła wszystkich w górę, gdyż nie mogli wstrzymać impetu, jaki nadał jeden człowiek regularnymi popchnięciami.

SALVIATI: Przykład ten również pożytecznie służyć mi może do objaśnienia zadziwiającej zagadki struny cytry lub cymbała, która porusza i rzeczywiście robi dźwięczną inną strunę zgodną z nią co do tonu albo różniącą się o oktawę lub kwintę. Dotknięta struna rozpoczyna i prowadzi dalej swe drgania przez cały czas, dopókąd trwa jej dźwięk: te drgania wprawiają powietrze w ruch, drżenie jego rozszerza się dalej i uderza o wszystkie struny tegoż samego instrumentu a także innych sąsiednich: struna nastrojona do unisona z dotkniętą, usposobiona do dokonywania swych drgań w tym samem tempie, nabywa w końcu drgania takiegoż jak pierwsza i widzicie wyraźnie rozszerzenie się jej drgań według okrsu struny poruszającej. Falowanie to, rozszerzając się w powietrzu, wprawia w ruch i drganie nie tylko struny, ale jakiekolwiek inne ciało skłonne do drgania, które drgać będzie przez cały czas drgania struny: tak że jeżeli na brzegu instrumentu położymy kawałki szczeci lub innej lekkiej materii, to ujrzymy drganie, podczas dźwięczenia cymbału, to jednego to drugiego ciała, stosownie do tego, która struna drga jednocześnie ze struną poruszoną, inne zostają w spokoju przy odgłosie tej struny, a poruszają się przy odgłosie innej. Gdy mocno pociągniemy smyczkiem po grubej strunie wiolonczeli, zbliżając do niej kieliszek z cienkiego i gładkiego szkła, to jeżeli ton struny jest unisono z tonem kieliszka, ten będzie drgał i głośno dźwięczał. Jak przez otaczający ośrodek rozszerzają się drgania dźwięczącego ciała, zobaczyć można, gdy się rozdźwięcza kieliszek, napełniony wodą, przez pocieranie palcem po brzegu; widzi się wtedy falowanie wody jak najregularniejsze a lepiej jeszcze zobaczy się to zjawisko, gdy nóżka kieliszka stoi na dnie dużego naczynia, napełnionego wodą po brzeg kieliszka, który także wprawia się w dźwięczenie pocierając palcem po brzegu; widzi się wtedy jak najregularniejsze zmarszczki rozchodzące się z wielką szybkością, daleko wokół kieliszka, a nawet zdarzyło mi się widzieć, przy dość dużym kielichu, że ton skakał o oktawę wyżej i w tej samej chwili każda z fal rozdzielała się na dwie: zjawisko wyraźnie pokazujące, że forma oktawy jest zdwojeniem.

SAGREDO: l mnie się to samo nieraz zdarzyło, sprawiając przyjemność a także pożytek; bo pozostając długo niepewnym co do tej formy współdźwięczności nie sądziłem, aby jej stosunek, podawany zwykle przez autorów piszących uczenie o muzyce, był zadowalający. Mówili oni, że diapazon czyli oktawa stoi w podwójnym, diapenta, albo jak ją nazywają kwinta, w półtoracznym stosunku, bo struna monochordu, dźwięcząca cała, a potem dźwięcząca w połowie, przy postawionym koziołku w środku daje oktawę, a jeżeli koziołek postawiony zostanie na trzeciej części długości struny daje kwintę, a więc oktawę przedstawia stosunek 1/2, a kwintę 2/3. Uzasadnienie to nie wydało mi się wystarczające dla ustalenia, że podwójność i półtoracznośó są formami naturalnemi diapazonu i diapenty. A motywy moje były następujące: w trojaki sposób podnosić możemy ton struny, przez skrócenie, większe naciągniecie czyli napięcie i zmniejszenie grubości. Przy równm napięciu i grubości otrzymujemy oktawę przez skrócenie do połowy, tj. uderzając raz całą strunę, a drugi raz jej połowę. Przy równej długości i grubości, otrzymujemy oktawę, naciągając więcej strunę, ale nie wystarcza tu zdwojenie siły lecz, trzeba wziąć siłę cztery razy większą; jeżeli struna była naciągnięta jednym funtem, to potrzeba użyć czterech funtów dla otrzymania oktawy. Wreszcie, przy równej długości i jednakowym napięciu, widzimy, że, aby struna przez zmniejszenie grubości dawała oktawę, to trzeba, aby była cztery razy cieńsza od dającej ton niższy. A to, co mówię o oktawie, tj. że się jej formę bierze z napięcia, z grubości lub z podwójnego stosunku długości, odnosi się także do innych interwalów muzycznych; jeżeli bowiem ze stosunku długości wypada półtoraczność, tj. raz cała struna, drugi raz dwie trzecie, to chcąc ją otrzymać przez zmianę napięcia albo grubości, wziąć trzeba kwadrat ze stosunku półtoracznego; tj. jeżeli np. struna dająca ton niższy naciągnięta była czterema funtami, to dla tonu wyższego trzeba nie sześciu ale dziewięciu funtów, a co do grubości, trzeba strunę niższą uczynić grubszą od wyższej w stosunku 9 do 4 aby otrzymać kwintę. Wobec tych ścisłych doświadczeń, wydało mi się zupełnie nieuzasadnionem przyjmowanie razem z dowcipnymi filozofami, dla formy oktawy stosunku 1/2 zamiast 1/4, a dla kwinty 2/3 zamiast 4/9. Ale ponieważ jest niemożliwe liczenie drgań struny, zbyt licznych podczas dźwięczenia, byłbym w ciągłej wątpliwości, czy rzeczywiście, przy wyższym tonie oktawy, struna dokonuje w tym samym czasie dwa razy tyle drgań co przy niższym, gdyby nie to, że nieustanne fale przy dźwięczącym i drgającym kieliszku wykazały mi wyraźnie, jak w tej samej chwili, gdy dał się słyszeć jeden raz ton wyższy, powstawały nowe fale mniejsze, które jak najściślej przepołowiały każdą z fal pierwotnych.

SALVIATI: Piękne to doświadczenie, przy którym rozróżniać można poszczególne drgania, wychodzące od drgającego ciała; drgania te rozchodząc się w powietrzu, wprawiają w ruch nasz bębenek uszny i stają się dźwiękiem w naszej duszy. Ale ponieważ widziałem i zaobserwowałem, że wzburzenie w wodzie trwa tylko dopóty, dopóki pociągamy palcem po kieliszku, a nawet w ciągu tego czasu nie bywa stałe, a tylko to powstaje to znika, czyż więc nie byłoby rzeczą piękną, gdyby można było uczynić drgania długotrwałymi, przez miesiące i lata, tak żeby można było je mierzyć i łatwo liczyć?

SAGREDO: Istotnie, taki wynalazek ceniłbym bardzo.

SALVIATI: Wynalazek był dziełem przypadku, a moją tylko była obserwacja, poważna i cenna jakkolwiek nie pochodząca z głębokiego rozważania, lecz z roboty dość pospolitej. Skrobiąc ostrem dłutem żelaznym płytę mosiężną, dla usunięcia plam, przy szybkim poruszaniu dtuta usłyszałem raz i dwa między wieloma ślizgami i świstami, gwizd bardzo mocny i wyraźny, a gdy spojrzałem na płytę, spostrzegłem długi szereg cienkich równoległych kresek w ściśle równych odstępach. Przy dalszem skrobaniu wielokrotnie zauważyłem, że tam tylko, gdzie się ten gwizd powtarzał, dłuto robiło takie kreski, tam zaś, gdzie skrobanie dawało się słyszeć bez gwizdu, nie było żadnego śladu podobnych kresek. Powtarzając nieraz tą zabawę, skrobiąc to z większą, to z mniejszą szybkością, gwizd odzywał się w tonie wyższym lub niższym i zauważyłem, że przy wyższych tonach kreski były gęstsze, a przy niższych rzadsze, a nawet wtedy, gdy skrobanie przy końcu było szybsze niż przy początku, ton gwizdu się podnosił, a jednocześnie kreski stawały się więcej skupione, ale zawsze zupełnie czyste i równo od siebie oddalone; oprócz tego przy gwiżdżących skrobaniach czułem w dłoni drganie dłuta, a przez rękę przebywający pewien dreszcz. Widać w rezultacie, że z żelazem dzieje się to samo co z nami, gdy mówimy cicho a potem wydajemy silny głos, że wypuszczając oddech bez wydawania dźwięku nie czujemy w gardle i w ustach żadnego ruchu, w porównaniu z mocnem drganiem, które odczuwamy w krtani i gardzieli przy wydawaniu głosu, zwłaszcza w głębokich i silnych tonach. Nieraz zaznaczałem na strunach cymbału dwa tony jednobrzmiące z dwoma różnymi gwizdami, o których była mowa, a różnica między nimi wynosiła doskonałą kwintę, gdy zaś zmierzyłem odległości między kreskami, znalazłem, że 45 kreskom jednego tonu odpowiadało 30 drugiego; co rzeczywiście odpowiada formie przypisywanej diapencie. Ale zanim pójdę dalej, muszę ostrzec, że z trzech sposobów podwyższania tonu, ten, który opieracie na cienkości struny, właściwiej byłoby odnosić do jej ciężaru. Bo przy jednakowym materiale pozostaje dla grubości ten sam stosunek, tak że z dwóch strun bydlęcych, musi jedna być cztery razy grubszą od drugiej, aby dawać oktawę i toż samo ma miejsce przy obu strunach metalowych. Ale jeżeli chcę otrzymać oktawę z jednej struny bydlęcej i drugiej metalowej, to stosunek nie będzie czterokrotny co do grubości, ale trzeba wziąć ciężar cztery razy większy; tak że struna metalowa nie będzie miała czterokrotnego przekroju struny bydlęcej ale czterokrotny ciężar i będzie tyle razy cieńszą od bydlęcej, odpowiadającej wyższej oktawie. Wynika stąd, że, jeżeli założymy w jednym cymbale struny złote, a w drugim mosiężne i będą tej samej długości, napięcia i grubości, to ponieważ złoto jest dwa razy cięższe, struny złote dawać będą ton o kwintę niższy. Tu zauważcie, że prędkości ruchu więcej się opiera ciężar ciała niż jego wielkość, odwrotnie niżby można było się spodziewać; gdyż zdawało się, że prędkość więcej może być hamowana przez opór ośrodka, gdy ciało jest większe i lżejsze niż gdy jest cięższe i mniejsze; w tym przypadku zaś rzecz się dzieje zupełnie przeciwnie. Ale wracając do pierwszego, powiadam, że bezpośredni stosunek formy interwalu muzycznego nie zależy ani od długości struny, ani od napięcia, ani od przekroju, a tylko od liczby drgań i uderzeń fal powietrza, dochodzących do bębenka naszego ucha i które w ciągu tego samego czasu wprawiają ten bębenek w drganie. Trzymając się tego, możemy ze ścisłością objaśnić, dlaczego jedne współdźwięki sprawiają nam wielką przyjemność, inne mniejszą, a inne nawet wielką nieprzyjemność, możemy więc podać przyczynę mniej lub więcej doskonałej współdźwięczności i dysonansu. Nieprzyjemność tego ostatniego pochodzi, jak myślę, z niezgadzających się ze sobą drgań, które wytwarzają dwa różne tony i uderzają niewspółmiernie o nasz bębenek uszny, a najnieznośniejszymi są rozdźwięki, gdy czasy drgań nie dają się wyrazić liczbami, ile idzie jednych na ile drugich, jak gdy z dwóch na jeden ton nastrojonych strun, jedna drga w takiej części względem drugiej, jak bok kwadratu do przeciwprostokątnej: rozdźwięk podobny trytonowi albo połowie diapenty. Współdżwięczną i mile brzmiącą będzie taka para tonów, które uderzać będą w pewnym porządku o bębenek; a pierwszym warunkiem tego porządku jest, aby liczby uderzeń w ciągu pewnego czasu były współmierne, tak aby błona bębenka nie znajdowała się w ciągłym zamieszaniu, poddając się i ulegając wciąż niezgodnym uderzeniom. Toteż pierwszą i najdoskonalszą współdźwięcznością jest oktawa, bo każdemu uderzeniu (o bębenek) niższego tonu odpowiadają dwa wyższego; tak że te dwa wyższe przychodzą równocześnie z jednem niższym i ze wszystkich uderzeń połowa pada razem, podczas gdy przy unisonie wszystkie padają razem i o żadnej współdźwięczności nie ma już mowy. Kwinta jest również przyjemna, bo na każde dwa drgania struny niższej, struna wyższa daje trzy drgania, skąd wynika, że trzecia część uderzeń (o bębenek) wyższego tonu schodzi się z uderzeniami niższego, a dwie samotne przedzielają pary zgodnych; przy kwarcie przedziela ich trzy. Przy sekundzie na każde dziewięć uderzeń jedno tylko dochodzi zgodnie z uderzeniem struny niższej, wszystkie inne są niezgodne, przyjmowane z odrazą przez bębenek i poczytywane za dysonans przy słuchaniu.

SIMPLICIO: Pragnąłbym większej jasności w tym wywodzie.

SALVIATI: Niech będzie (rys. 13) AB długość drgania struny niższej, a CD struny wyższej, która z poprzednią daje oktawę i niech będzie E środek AB. Widać, że gdy ruch wychodzi z punktów A i C, to gdy drganie wyższe dochodzi do D, drugie dojdzie tylko do środka E, który nie brzmi, nie stanowiąc końca ruchu, a uderzenie będzie tylko w D. Gdy drganie wraca od D do C, to drugie przechodzi od E do B, i wtedy dwa uderzenia z B i C dochodzą jednocześnie do bębenka; a gdy drgania tak następować będą po sobie, to uderzenia będą się na przemian raz spotykać, a drugi raz nie; ale uderzeniom końcowym towarzyszyć będzie zawsze jedno z uderzeń C, D, i zawsze to samo; wynika stąd, że gdy A i C uderzają jednocześnie, to gdy A przechodzi do B, C idzie do D i wraca do C, tak że pary AC są zawsze te same. Ale jeżeli drgania AB i CD dają diapentę, to ich czasy mają się do siebie w stosunku półtoracznym i dzielić należy AB struny niższej na trzy części równe w E i O. Drgania zaczynają się dawać słyszeć w tej samej chwili w punktach A i C; oczywiście, gdy uderzenie następuje w D, drganie struny niższej dochodzi do O, a bębenek otrzymuje uderzenie tylko w D; przy powrocie od D do C, drganie struny niższej postępuje od O do B i wraca od B do O, wykonywając uderzenia odosobnione w B, nie wpadające w tempo uderzeń struny wyższej (co należy zauważyć), bo ponieważ przyjęliśmy równoczesny początek drgań w A i C, to drugie drganie, które uderzało odosobnione w D, uderzy wracając o tyle później, ile nam trzeba na przejście od C do D lub od A do O. Ale uderzenie w B następuje tylko o połowę tego czasu później, bo OB=1/2 AO; dalej jedno drganie wraca od O do A, a równocześnie drugie idzie od C do D, tak że oba uderzają razem w A i D. Podobne okresy następują dalej, ze wstawieniem dwóch oddzielnych i odosobnionych uderzeń wyższego tonu i jednego odosobnionego niższego tonu, między dwa odosobnione wyższego. Jeżeli podzielimy czas na równe małe momenty, to w pierwszych dwóch momentach od A i od C następuje przejście do O i do D i uderzenie w D, następnie w trzecim i czwartym momencie powrót od D do C i uderzenie w C, a jednocześnie ruch od O do B, uderzenie w B i powrót od B do O, wreszcie w piątym i szóstym momencie drgania od O i C do A i D i równoczesne uderzenia w obu tych punktach, a na błonie bębenka uderzenia następują w takim porządku, że jeżeli się spotykają na początku, to po dwóch momentach następuje odosobnione, po trzecim znów odosobnione i tak samo po czwartym, a po dwóch następnych dwa uderzenia razem: wtedy okres jest ukończony i cała anomalia powtarza się wiele razy w następstwie.

SAGREDO: Nie mogę dłużej milczeć i muszę objawić zadowolenie, jakie mi sprawiło tak wyborne uzasadnienie zjawisk, które mnie tak długo trzymały w ciemności i ślepocie. Teraz rozumiem, dlaczego unisono nie różni się od jednego pojedynczego głosu: pojmuję dlaczego oktawa jest najlepszym współdźwiękiem, a przy tym tak podobna do jednodźwięku, że brzmi jak ten ostatni: podobna jest do unisonu, bo drgania strun na jeden ton nastrojonych uderzają wszystkie razem, uderzenia niższej struny zawsze razem z uderzeniami wyższej, a między nimi równoodległe od obu uderzenie odosobnione, i tak bez żadnego zamieszania, dlatego też ta współdźwięczność jest zbyt słodka i mało ożywiona. Za to kwinta ze swoimi kontratempami, ze wstawkami między pary dwóch połączonych drgań, dwóch drgań odosobnionych struny wyższej i jednej odosobnionej struny niższej, tej ostatniej następującej w połowie dwóch poprzednich i w połowie okresu między uderzeniami par drgań, wywołuje takie miłe łechotanie bębenka, że ożywiając słodycz deszczykiem kwasu, daje wrażenie zarazem pocałunku i ukąszenia.

SALVIATI: Skoro Waszmościom tak przypadły do gustu te nowości, podać Warn muszę, w jaki sposób może nie tylko ucho, ale i oko zabawić się widokiem podobnych wybryków. Zawieście kulki ołowiane albo inne ciężkie ciała na trzech sznurkach różnej długości, ale takich, że gdy najdłuższy dokonuje dwóch wahań, to w tym samym czasie najkrótszy robi ich cztery a średni trzy, a co ma miejsce, gdy najdłuższy ma 16 palm lub innych miar, średni 9 a najkrótszy 4; gdy wszystkie równocześnie odchylone zostaną od pionu i puszczone, widzi się nieokreślone krzyżowanie się sznurków, różnie się schodzących, ale w ten sposób, że przy każdem czwartem wahaniu najdłuższego wszystkie trzy znajdują się równocześnie w początku ruchu i zaczyna się taki sam nowy okres; to pomieszanie wahań jest takie samo, jak czynione na słuchu przez struny dające oktawę i kwintę. Jeżeli w podobny sposób oznaczymy długość innych sznurków odpowiednio do wiadomych współdźwięczących interwałów muzycznych, to otrzymamy znów inne splątanie ruchów wahadeł, takie jednak, że po pewnej liczbie wahań wszystkie znów stawać będą równocześnie w punktach wyjścia i razem puszczą się w ruch, by rozpocząć nowy podobny okres. Ale jeżeli czasy wahań dwóch hib więcej sznurków są niewspółmierne, tak że nigdy w jednej i tej samej chwili nie wracają do punktu wyjścia, albo nawet, gdy są współmierne, wracają po zbyt długim przeciągu czasu i po zbyt wielkiej liczbie wahań, to oko zostaje zmęczone widokiem tej ciągłej nieregularności, a ucho z udręczeniem odbiera drgania powietrza wpadające bez żadnego porządku i regularności.

Ale dokądże to, moi panowie, pozwoliliśmy się doprowadzić przez te różne kwestie i niespodziewane rozmowy. Noc nadeszła, z przedmiotu postawionego roztrząsnęliśmy bardzo mało, nic prawie; tymczasem zboczyliśmy tak z drogi, że zaledwie przypominam sobie punkt wyjścia i pierwsze rozważania, przyjęte jako hipotezy i podstawy dalszych rozwiązań.

SAGREDO: To też skończymy dziś na tym i pozwolimy umysłowi uspokoić się nocnym spoczynkiem, aby jutro (jeżeli się panowie zgadzają) powrócić do pożądanych i głównych rozważań.

SALVIATI: Nie omieszkam, o tej samej godzinie co i dziś, służyć wam i was zadowolić.

Koniec dnia pierwszego.

DZIEŃ DRUGI

Rozważania dnia drugiego, poświęcone wyłącznie wytrzymałości belek i zagadnieniom pokrewnym, pominięto.
Nie są wolne od błędów - nieuniknionych z uwagi na stan wiedzy w tym zakresie w I połowie XVII w.
Poniższy spis treści rozmów Dnia Drugiego pochodzi z polskiego wydania.

Prawo równowagi drąga - Drąg do podważania ciężarów - Wytrzymałość na rozciąganie i złamanie - Wysokość i szerokość belek - Siły, przyłożone do końców belek wmurowanych, działają proporcjonalnie do długości belek - Wytrzymałość proporcjonalna do sześcianu z wysokości belki i do półtoracznej potęgi z objętości - Wytrzymałość na złamanie graniastosłupów i walców podobnych - Wytrzymałość na rozciąganie prętów i sznurów - Wielkie i małe twory - Kości olbrzymów, granice wielkości ryb - Złamanie pod własnym ciężarem - Zmiany położenia podpór - Potęga geometrii i logiki - Oznaczenie siły potrzebnej do złamania belki - Belka o zmniejszającej się wysokości - Belka paraboliczna wszędzie jednakowo wytrzymała - Kwadratura paraboli - Sposoby rysowania paraboli - Wytrzymałość walców pustych - Porównanie wytrzymałości walców pełnych i pustych

DZIEŃ TRZECI
O ruchu miejscowym

Poniżej pominięto większość geometrycznych dowodów twierdzeń,
choć kilka pozostawiono, aby dać czytelniczkom/kom sposobność zapoznania się z charakterem Galileuszowych wywodów.

Twierdzenie o tym ruchu - Ruch naturalnie przyspieszony - Określenie tego ruchu - Przyczyna przyspieszenia, podtrzymywanie ręką kamienia spadającego - Rozpowszechnione błędne poglądy - Prędkość spadku wzdłuż równi pochyłych jednakowej wysokości, zahamowane wahadło - Twierdzenie I o ruchu przyspieszonym i ruchu jednostajnym, przy równości dróg i czasów - Twierdzenie II o proporcjonalności dróg do kwadratów z czasów - Wniosek I. Drogi jak liczby nieparzyste - Doświadczenia stwierdzające - Wniosek II o stosunku czasów ruchu dwóch dróg - Spadek po równiach pochyłych - Prędkości osiągane przy tym spadku - Twierdzenia III-VI o czasach spadku po równiach - Wnioski I-III z tych twierdzeń - Twierdzenia VII i VIII o czasach spadku po równiach i cięciwach - Twierdzenia IX-XII o czasach spadku po równiach w różnych warunkach - Zadania I-III o tych równiach. Twierdzenie XIII o czasach spadku po równiach, następującego po spadku wzdłuż prostopadłej - Zadania IV-VII o różnych kombinacjach takich spadków - Twierdzenie XIV. Wysokość spadku po prostopadłej i droga dal­szego spadku po równi, przebyta w tym samym czasie - Zadania VIII i IX i objaśnienia dotyczące poprzednio wymienionego przedmiotu - Twierdzenia XV i XVI o podnoszeniu się po równi i o ruchu po­ziomym, następującym po ruchu wzdłuż równi - Zadanie X. Podnoszenie się wzdłuż równi, następujące po spadku prostopadłym. Twierdzenia XVII i XVIII o drogach wzdłuż różnych części równi, przebywanych w tym samym czasie i o spadku wzdłuż dwóch cięciw - Zadania XI. Bieg poziomy po spadku z różnych wysokości - Twierdzenia XIX i XX. Drogi spadków w czasie najkrótszym - Twierdzenie XXI. Najkrótsze czasy spadku wzdłuż różnych części równi pochyłej - Zadania XII-XIV. O ruchu poprzedzającym ruch wzdłuż równi pochyłej - Twierdzenie XXII. Najkrócej trwający spadek po dwóch sąsiednich cięciwach. Spadek po łuku koła - Zadania XV i XVI. Ruch po odcinku równi i drogi poziome, prze­bywano po spadku pionowym

O bardzo starym przedmiocie przynosimy naukę zupełnie nową. Nie ma nic dawniejszego w naturze od ruchu, a pisma o nim filozofów są nieliczne i niewystarczające. Znam liczne i godne uwagi jego objawy, dotąd nie zaobserwowane i nie dowiedzione. Niektóre mniej ważne opisywano, jak np. że ruch naturalny ciężaru spadającego jest stale przyspieszany. Ale jaki jest stosunek tego przyspieszenia, nie wskazano; nikt bowiem, o ile wiem, nie dowiódł, że drogi przebyte w czasach równych przez ciało wychodzące ze spoczynku i spadające, mają się do siebie jak liczby nieparzyste, następujące po jedności. Zauważono, że ciała rzucone, czyli pociski, opisują jakąś krzywą, ale nikt nie zaznaczył, że to jest parabola. Że tak jest, oraz wiele innych rzeczy niemniej godnych uwagi, będzie przeze mnie dowiedzione i co ważniejsza, udostępniona zostanie rozległa i nader ważna umiejętność, której ta praca nasza stanie się zawiązkiem, a której tajników nie zgłębiły umysły od mojego przezorniejsze.

Na trzy części dzieli się ta rozprawa. W pierwszej rozważamy ruch jednostajny. W drugiej opisujemy ruch jednostajnie przyspieszony. W trzeciej jest mowa o ruchu gwałtownym, czyli o pociskach.

O RUCHU JEDNOSTAJNYM

Ruchu jednostajnego, czyli jednakowego, jedno tylko mamy określenie, które wyrażam jak następuje.

Określenie

Pod równym albo jednostajnym rozumiem ruch taki, gdy w jakichkolwiek równych sobie odstępach czasu, ciała przebywają drogi równe.

Ostrzeżenie

Do dawnego określenia (które po prostu ruch nazywa jednakowym, gdy w równych czasach przebywane są równe drogi) dołączyliśmy przydawkę "w jakichkolwiek", to znaczy we wszystkich równych odstępach czasu: gdyż zdarzyć się może, że w niektórych czasach równych drogi przebyte są równe, ale w mniejszych cząstkach tych czasów, chociaż równych sobie, drogi przebyte nie są równe. Z przytoczonego określenia wynikają następujące cztery aksjomaty.

Aksjomat l

W tym samym ruchu jednostajnym droga przebywana w czasie dłuższym jest dtuźsza od przebywanej w czasie krótszym.

Aksjomat II

W tym samym ruchu jednostajnym czas ruchu po drodze dłuższej jest dłuższy od czasu ruchu po drodze krótszej.

Aksjomat III

W czasach równych przebywana jest przy większej prędkości droga dłuższa niż przy mniejszej.

Aksjomat IV

Prędkość, z jaką w pewnym czasie przebywaną jest droga dłuższa, jest większa od prędkości ruchu w tymże czasie drogi krótszej.

Twierdzenie I. Podanie I

Jeżeli ciało, poruszające się jednostajnie, przebywa dwie drogi z jednakową prędkością, to czasy ruchu są proporcjonalne do dróg.

Niech bowiem ciało (rys. 40) przebywa ruchem jednostajnym z jednakową prędkością drogi AB i BC i niech będzie DE czas potrzebny do przebycia AB, a EF - do przebycia BC. Twierdzę, że tak się ma droga AB do drogi BC, jak czas DE do czasu EF. Przedłużmy w obie strony linie dróg i czasów do G, H i l, K i podzielmy AG na dowolną liczbę dróg równych AB, i tak samo DI na takąż liczbę czasów równych DE; z drugiej strony weźmy na CH dowolną liczbę dróg równych BC i takąż liczbę czasów na FK równych EF. Będą więc droga BG i czas El jednakowymi, dowolnie wybranymi, wielokrotnościami drogi BA i czasu ED, i tak samo droga HB i czas KE takiemiż wielokrotnościami drogi CB i czasu FE. A ponieważ DE jest czasem ruchu po AB, to czas całkowity El odnosi się do całej drogi BG, że zaś ruch jest jednostajny, to i w czasie El będzie tyleż części równych DE, ile jest dróg BA w całkowitej drodze BG i tak samo znajdujemy, że KE jest czasem ruchu po HB. Wskutek zaś założenia jednostajności ruchu, gdyby GB było równe BH, to będzie także czas IE równy czasowi EK; gdyby zaś GB było większe lub mniejsze od BH, to także IE będzie większe lub mniejsze od EK. Z czterech przeto rozważanych wielkości: pierwsza AB, druga BC, trzecia DE, czwarta EF, mieszczą się pierwsza i trzecia, to jest droga AB i czas DE, jednakową liczbę razy w drodze GB i czasie IF, a dowiedziono, że te ostatnie są obie jednocześnie albo równe, albo większe, albo mniejsze od czasu EK i drogi BH, a to samo odnosi się do wielkości drugiej i czwartej. Ma się więc wielkość pierwsza do drugiej, to jest droga AB do drogi BC, jak trzecia do czwartej, tj. jak czas DE do czasu EF, co było do dowiedzenia.

Twierdzenie II. Podanie II

Jeżeli ciało w równych czasach przebywa dwie drogi, to te drogi są proporcjonalne do prędkości. Jeżeli zaś drogi są proporcjonalne do prędkości, to czasy są równe.

Niech będą, na poprzednim rysunku, AB, BC, drogi przebyte w czasach równych, a mianowicie AB z prędkością DE i BC z prędkością EF. Twierdzę, że droga AB ma się do drogi BC, jak prędkość DE do prędkości EF; jeżeli bowiem weźmiemy, jak poprzednio, po obu stronach dowolne wielokrotności dróg i prędkości, mianowicie GB i IE, złożone z części AB i DE i tak samo HB i KE, złożone z części BC i EF, to w ten sam sposób dojdziemy do wniosku, że wielokrotności GB i IE są albo równe, albo jednakowo większe lub mniejsze od wielokrotności BH i EK; a więc i podanie jest oczywiste.

Twierdzenie III. Podanie III

Przy nierównych prędkościach, a równych drogach, prędkości są odwrotnie proporcjonalne do czasów.

(...)

Twierdzenie IV. Podanie IV

Jeżeli dwa ciała w ruchu jednostajnym mają nierówne prędkości, to drogi przebyte w czasach nierównych mają się do siebie w stosunku złożonym ze stosunku prędkości i stosunku czasów.

Dwa ciała (rys. 42) E i F są w ruchu jednostajnym i stosunek prędkości ciała E do prędkości ciała F jest jak A do B; czas zaś ruchu ciała E ma się do czasu ruchu ciała P jak C do D. Twierdzę, że droga przebyta przez ciało E z prędkością A w czasie C ma się do drogi przebytej przez ciało F z prędkością B w czasie D, w stosunku złożonym ze stosunku prędkości A do prędkości B i stosunku czasu C do czasu D. Niech będzie G droga przebyta przez ciało E z prędkością A w czasie C i niech się ma prędkość A do prędkości B, jak G do I, a czas C do czasu D jak l do L: wiadomo, że l jest to droga, jaką ciało F przebywa w tym samym czasie, jak ciało E drogę G, bo drogi G i l mają się do siebie, jak prędkości A i B: a ponieważ czas C ma się do czasu D jak l do L, to jeżeli l jest drogą, jaką przebywa ciało F w czasie C, będzie L drogą przebytą przez ciało F w czasie D z prędkością B: stosunek zatem G do L składa się ze stosunku G do I i l do L, czyli ze stosunku prędkości A do prędkości B i czasu C do czasu D, jak to objawia podanie.

Twierdzenie V. Podanie V

Jeżeli dwa ciała poruszają się jednostajnie z nierównymi prędkościami i drogi jakie przebywają są nierówne, to czasy ruchu mają się do siebie jak stosunek złożony ze stosunku dróg i z odwrotnego stosunku prędkości.

(...)

Twierdzenie VI. Podanie VI

Jeżeli dwa ciała poruszają się jednostajnie, to stosunek ich prędkości jest równy stosunkowi złożonemu ze stosunku dróg przebytych i odwrotnego stosunku czasów.

(...)

SALVIATI: To właśnie napisał nasz autor o ruchu jednostajnym. Przejdziemy teraz do subtelniejszego i nowego rozważania, dotyczącego ruchu naturalnie przyspieszonego, który się zwykle odbywa przy spadku ciał ważkich i oto tytuł i wstęp.

O RUCHU NATURALNIE PRZYSPIESZONYM

Dotąd mówiliśmy o ruchu jednostajnym, przechodzimy teraz do ruchu przyspieszonego. A najpierw winno być podane i objaśnione określenie tego naturalnego zjawiska. Jakkolwiek można dowolnie wyobrazić sobie jakikolwiek rodzaj ruchu i obserwować towarzyszące mu objawy (jak np. ci, którzy wyobrażali sobie helisy i konchoidy, jako krzywe powstające z pewnych ruchów, które w naturze nie mogą się zdarzać, a na zasadzie swych przypuszczeń wywodzili chwalebnie ich własności), to jednak postanowiliśmy rozważać te właśnie objawy, które zachodzą w naturze, przy swobodnym spadku ciał i pozwalają godzić określenie ruchu przyspieszonego z istotą tego ruchu w naturze. Po długich rozmyślaniach uznaliśmy taką drogę za najlepszą, z tego względu zwłaszcza, że to, co doświadczenie przedstawia zmysłom, odpowiada w zupełności wyjaśnionym zjawiskom. Wreszcie do badania ruchu naturalnie przyspieszonego doprowadziła nas, jakby ręką, uważna obserwacja nawyków i urządzeń natury, we wszystkich jej sprawach, przy których prowadzeniu stara się ona stosować najprostsze i najłatwiejsze środki; bo zdaje mi się, że nikt nie będzie utrzymywał, aby pływanie lub fruwanie mogło być wykonywane prościej i łatwiej, niż tymi środkami, których używają naturalnym instynktem ryby i ptaki. Jeżeli przy tym zauważę, że kamień, wychodzący ze spoczynku i spadający ze znacznej wysokości, doznaje wciąż nowych przyrostów prędkości, to dlaczegóż nie mam wierzyć, że te przyrosty powstają w sposób najprostszy i dla każdego zrozumiały. Bo, badając ściśle, nie znajdziemy żadnego dodatku lub przyrostu prostszego niż taki, który dochodzi wciąż jednakowo. Zrozumiemy to łatwo, rozpatrując bliskie pokrewieństwo pojęć czasu i ruchu: jak bowiem ruch jednostajny określa równość przestrzeni przebytych w równych czasach (bo nazwaliśmy jednostajnym taki ruch, w którym w czasach równych przebywane są drogi równe), to przy takiej równości czasów prościej pojąć możemy wzrosty prędkości: przyjmując w myśli ruch ten jako jednostajny i w jednakowy sposób stale przyspieszany, bo w jakichkolwiek czasach równych dochodzą równe dodatki prędkości. Tak że, jeżeli od chwili, gdy ciało wychodzi ze spoczynku i zaczyna spadać, weźmiemy pod uwagę równe odstępy czasu spadania, to stopień prędkości, nabyty w ciągu pierwszego i drugiego odstępu, będzie dwa razy większy od nabytego w ciągu samego pierwszego, nabyty w ciągu trzech odstępów, trzy razy, a w ciągu czterech, cztery razy większy. Tak że (dla łatwiejszego zrozumienia) gdyby ciało swój ruch, po pierwszym odstępie czasu, z osiągniętyin stopniem albo momentem prędkości w ten sam sposób dalej prowadziło, to poruszałoby się dwa razy wolniej, niż gdyby stopień prędkości osiągnięty był w dwóch odstępach czasu: nie zbłądzimy więc, jeżeli przyjmiemy, że natężenie prędkości odpowiada przeciągowi czasu: skąd wynika takie określenie ruchu, którym się mamy zajmować: Równomiernie, albo jednostajnie przyspieszonym nazywamy taki ruch, który, od chwili wyjścia ze spoczynku, w czasach równych, przydaje sobie równe momenty prędkości.

SAGREDO: Nie będę się sprzeciwiał tej lub każdej innej definicji, postawionej przez jakiegoś autora, bo wszystkie one są arbitralne: mogę wszakże, nie obrażając nikogo, powątpiewać, czy takie abstrakcyjnie zupełnie postawione definicje nadają się i sprawdzają, dla tego rodzaju ruchu przyśpieszonego, jaki wykonują ciała ważkie naturalnie spadające. A ponieważ zdaje się, że nasz autor zapewnia, że to, co określa jest naturalnym ruchem ciał ważkich, pragnąłbym chętnie, aby mi odjęto pewne skrupuły, które mnie bałamucą; abym mógł potem z tym większą uwagą wysłuchać dowodzeń, na które czekamy.

SALVIATI: Zechciejcie więc, Waszmość i pan Simplicio, przystąpić do formułowania zarzutów. Wyobrażam sobie, że będą te same, jak te, które sobie przypominam, gdy pierwszy raz zobaczyłem tę rozprawę i które w części odparte zostały przez samego autora, a w części po własnem zastanowieniu się odrzucone.

SAGREDO: Weźmy pod uwagę ciało ważkie wychodzące ze spoczynku, czyli ze stanu, w którym pozbawione było wszelkiej prędkości, i rozpoczynające ruch w ten sposób, że jego prędkość, od pierwszej chwili, rośnie proporcjonalnie do czasu: tak że, jeżeli w ciągu ośmiu uderzeń pulsu nabywa osiem stopni prędkości, to przy czwartem uderzeniu ma ich tylko cztery, przy drugim dwa, a przy pierwszym jeden, a ponieważ czas jest nieskończenie podzielny, wynika stąd że, jeżeli poprzedzające prędkości mają być mniejsze w tym samym stosunku, to nie można wyobrazić sobie tak małej prędkości, z jakąby ciało musiało się poruszać w chwili nieskończonej powolności, tj. gdy wychodziło ze spoczynku. Jeżeliby więc ciało, z prędkością osiągniętą w ciągu czterech uderzeń pulsu i pozostającą bez zmiany, przebywało dwie mile w ciągu godziny, a z osiągniętą w ciągu dwóch uderzeń pulsu - jedną milę, to twierdzić należy, że w chwilach najbliżej sąsiadujących z wyjściem ze stanu spoczynku, ruch ciała będzie tak powolny, że (przy dalszym równie powolnym ruchu) ciało nie przebiegnie jednej mili ani w ciągu godziny, ani w ciągu dnia, roku i tysiąca lat i w ciągu jeszcze dłuższego czasu nie posunie się ani na palec: zjawisko, które trudno nam śledzić wyobraźnią, bo zmysły nasze pokazują nam, że ciało ważkie spada nagle z wielką prędkością.

SALVIATI: Ta sama trudność zajmowała mnie na początku, ale ją wnet przezwyciężyłem: a udało mi się to przez takie doświadczenie, jak to, które co dopiero było przytoczone. Powiedzieliście, że doświadczenie wskazuje, iż ciało skoro tylko wychodzi że spoczynku ma zaraz znaczną prędkość; a ja powiadam, że to samo doświadczenie wyjaśnia, że pierwszy impet bardzo nawet ciężkiego ciała jest powolny i opóźniony. Połóżcie ciężar na masie miękkiej, to ustępuje pod ciśnieniem, jakie wywiera ciężar; oczywiście więc, jeżeli podniesiemy ciężar na łokieć lub dwa i spuścimy go, aby spadł na tę samą masę, to przy uderzeniu wywarte będzie nowe i większe ciśnienie aniżeli to, które przedtem wywarł sam ciężar; skutek wywarty będzie wtedy przez ciało spadające i przez prędkość nabytą podczas spadku, a ten skutek będzie tym większy, im z większej wysokości nastąpi uderzenie, to jest im większą będzie prędkość ciała uderzającego. Jaka zaś jest prędkość spadającego ciężaru, o tej możemy bez błędu wnioskować ze sposobu i wielkości uderzenia. Ale powiedzcie mi mości panowie, jeżeli na pal spuszczamy babę kafara z wysokości czterech łokci i ta wbija go w ziemię np. na cztery palce, to spuszczona z dwóch łokci wbije go mniej, a z jednego jeszcze mniej, i jeszcze mniej z wysokości piędzi; a, jeżeli w końcu podniesioną będzie tylko na palec, to, czy nie zdziała tyle, jakby była położoną bez uderzenia? z pewnością bardzo mało i działanie byłoby zupełnie niedostrzegalne, gdyby była podnoszona tylko na taką wysokość, jak gruby jest papier. A ponieważ skutek uderzenia zależy od prędkości ciała uderzającego, to któżby mógł wątpić, że gdy ruch jest bardzo wolny, a prędkość jak najmniejsza, to jej działanie jest niedostrzegalne? Uwydatnia się tu potęga prawdy, bo to samo doświadczenie, które na pierwszy rzut oka zdawało się dowodzić pewnej rzeczy, lepiej rozważane wykazuje rzecz wprost przeciwną. Ale nawet bez uciekania się do takiego doświadczenia (które bez wątpienia jest jak najwięcej przekonujące), zdaje mi się, że nie trudno będzie przeniknąć do prawdy prostym rozumowaniem. Mamy ciężki kamień, podtrzymywany w powietrzu w spoczynku: jeżeli odejmiemy podporę i damy mu swobodę, to, będąc cięższym od powietrza, spada na dół i to nie ruchem jednostajnym, lecz z początku powolnym a następnie stale przyspieszonym; a że prędkość może się powiększać lub zmniejszać bez granic, to cóż by przekonać mnie mogło, że takie ciało, wychodząc z nieskończenie wielkiej powolności (gdyż tym jest spoczynek), przyjmie od razu raczej dziesięć stopni prędkości, a nie cztery, dwa, jeden, pól lub jedną setną stopnia? lub zresztą wszystkie mniejsze, do nieskończoności? Zechciejcie to przyznać. Nie przypuszczam, abyście odmawiali swej zgody na to, że osiąganie stopni prędkości przez kamień spadający, od chwdi wyjścia ze spoczynku, następuje w tym samym porządku, jak zmniejszanie się lub strata tychże stopni przy podrzucaniu go siłą popychającą w górę, do tej samej wysokości: a jeżeli tak jest, to wydaje mi się niewątpliwe, że przy zmniejszaniu się prędkości podnoszącego się kamienia, gdy ta w końcu zostaje unicestwiona, kamień nie prędzej dojdzie do stanu spoczynku, póki nie przejdzie przez wszystkie stopnie powolności.

SIMPLICIO: Ale skoro stopnie coraz większej powolności są w liczbie nieskończonej, to nigdy nie będą wszystkie wyczerpane; a więc podnoszące się ciało ważkie nigdy nie dojdzie do spoczynku, ale poruszać się będzie nieskończenie, ciągle się opóźniając: czego nie widać, aby się zdarzało.

SALVIATI: Zdarzałoby się to, panie Simplicio, gdyby ciało z każdym stopniem prędkości poruszało się przez czas pewien; ale ono przez każdy taki stopień przechodzi, nie trwając w nim ani chwilę a w każdym najmniejszym przeciągu czasu jest takich chwil nieskończenie wiele, wystarczają one przeto, aby odpowiadać nieskończenie wielu stopniom zmniejszającej się prędkości. Że zaś ciało, lecące w górę, nie utrzymuje się w ciągu żadnego przeciągu czasu w tym samym stopniu prędkości, to można w ten sposób wykazać: jeżeli określony zostanie pewien przeciąg czasu, to miałoby ciało w pierwszej chwili tego okresu, jak i w ostatniej, ten sam stopień prędkości, i w tym samym stopniu utrzymywałoby się w ciągu następnego okresu na przebywanej przestrzeni i jak przechodziło od pierwszego okresu do drugiego, dla tej samej przyczyny przeszłoby tak samo od drugiego do trzeciego, aż w końcu utrzymałoby się do nieskończoności w ruchu jednostajnym.

SAGREDO: Z rozważania tego wyciągnąć by można dość trafne rozwiązanie poruszanej przez filozofów kwestil, jaka jest przyczyna przyspieszenia w ruchu naturalnym ciał ważkich. Bo, jak uważam, przy ruchu ciężaru rzuconego pod górę, siła (virtu) rzutu wciąż się zmniejsza i dopókąd się nie zrówna z przeciwdziałającą ciężkością, to ciężar się podnosi, a gdy się siła i ciężkość zrównoważą, to ciężar przestaje się podnosić i przechodzi w stan spoczynku, w którym popęd, jaki mu był udzielony, nie inaczej zostaje unicestwiony, jak tylko przez to, że zużytą została przewyżka, jaką miał poprzednio nad ciężarem ciała, dzięki której ciało mogło się podnosić do góry. Gdy więc trwa zmniejszanie się tego obcego popędu i następuje przewyżka ciężaru ciała, wtedy zaczyna się spadanie, ale bardzo powolne, wskutek przeciwdziałania nadanego popędu, którego znaczna część jeszcze się w ciele utrzymuje; a ponieważ ten popęd wciąż się zmniejsza i ciężkość wciąż w większym stosunku przeważa, powstaje stąd stałe przyspieszenie ruchu.

SIMPLICIO: Pomysł jest dowcipny, ale raczej pięknie obmyślany niż trafny. Gdyż to, co się w nim wydaje zadowalające, odnosi się tylko do ruchu naturalnego, poprzedzonego ruchem gwałtownym, przy czym utrzymuje się w nim jeszcze część udzielonego popędu, który dał początek ruchowi gwałtownemu: lecz gdy nie ma żadnej takiej pozostałości i ciało po długotrwałym spoczynku puszcza się w ruch, to całe rozumowanie traci swą silę.

SAGREDO: Sądzę że jesteście w błędzie i że to odróżnianie przypadków jest zbyteczne albo, lepiej mówiąc, żadne. Bo powiedzcie mi, czyliż przy podrzucaniu nie może być nadany ciału popęd, raz wielki, raz mały, tak że ciało wznieść się może na wysokość stu łokci, albo dwudziestu, albo czterech, albo jednego?

SIMPLICIO: Tak, bezwątpienia.

SAGREDO: I nie mniej udzielony popęd może tak mało przewyższać opór ciężkości, że ciało podniesie się tylko na szerokość palca; a w końcu popęd może być tylko taki, że będzie równoważył opór ciężkości tak, że ciało nie będzie podniesione w górę a tylko podtrzymane. Gdy więc trzymacie w ręku kamień, czyż robicie co innego, jak to, ze mu nadajecie taki popęd do podnoszenia się w górę, jaka jest jego ciężkość pociągająca go w dół? l czy nie nadajecie mu tego popędu przez cały czas trzymania w ręku? Czy może ten popęd się zmniejsza w ciągu długiego trzymania? A czyż to ma jakieś znaczenie, że tą podporą, nie dopuszczającą, aby kamień spadał, jest nasza ręka, lub stół, albo sznur, na którym jest zawieszony? Oczywiście nie. Wynika więc stąd, panie Simplicio, że, czy dłuższy czy krótszy czas, albo tylko chwila spoczynku poprzedza spadek kamienia, nie czyni to żadnej różnicy, bo kamień się nie ruszy, dopókąd działa popęd przeciwny jego ciężkości, a ściśle wystarczający do utrzymania go w spoczynku.

SALVIATI: Nie wydaje mi się odpowiednim rozpoczynanie obecnie badania przyczyny przyspieszenia ruchu naturalnego, o czem różni filozofowie różne wyrazili poglądy: jedni odnosili to do zbliżania się do środka, inni do tego, że wciąż mniej części chce się od siebie oderwać, inni znów do oporu otaczającego ośrodka, który schodzi się za ciałem spadającem, popychając je i wciąż goniąc; wszystkie te zapatrywania, wraz z innymi podobnymi poddać by należało sprawdzeniu i rozpatrzeniu, choć się mało na tym zyska. Na teraz wystarczy naszemu autorowi, abyśmy zrozumieli, jak on badać i objaśniać zamierza niektóre własności ruchu przyspieszonego (jakakolwiek byłaby ich przyczyna), równie jak momenty prędkości, od wyjścia ciała ze spoczynku, wciąż rosnące w najprostszym stosunku do wzrostu czasu trwania ruchu, co znaczy, że w równycb czasach następują równe przyrosty prędkości. A gdy się okaże, że przypadki, które zostaną przedstawione, sprawdzają się przy naturalnym ruchu ciała spadającego z przyspieszeniem, to będziemy mogli przyjąć, że powyższe określenie odnosi się do takiego ruchu ciężarów i że prawdą jest, że przyspieszenie jest proporcjonalne do czasu trwania ruchu.

SAGREDO: O ile teraz rozumiem, to zdaje mi się, że bez zmiany pomysłu tak można to wyraźniej określić: Ruch jednostajnie przyspieszony jest taki, przy którym prędkość wzrasta proporcjonalnie do przebytej drogi: tak że np. przy spadku z wysokości czterech łokci, prędkość jest dwa razv większa, niż przy spadku z wysokości dwóch łokci, a ta znów dwa razy od odpowiadającej wysokości jednego łokcia. Wydaje mi się bowiem niewątpliwe, że ciało spadające z wysokości sześciu łokci uderza z impetem dwa razy większym, niż gdy spada z wysokości trzech łokci, a trzy razy większym w porównaniu ze spadkiem z dwóch łokci, i sześć razy większym niż przy spadku z wysokości jednego łokcia.

SALVIATI: Pociesza mnie to, że miałem takiego towarzysza w błędzie; powiem Wam nadto, że Wasze przedstawienie ma w sobie tyle prawdopodobieństwa, że sam nasz autor mi nie przeczył, gdy mu je komunikowałem i że on przez pewien czas pozostawał w tym samym błędzie. Co wszakże najwięcej podziwiałem, to gdy ujrzałem, jak w czterech najprostszych słowach objawiają się nie tyle fałszywe ile niemożliwe dwa podania, które uważałem dopiero co za prawdopodobne i wielu je przedstawiałem, nie znalazłszy takich, którzy by się na nie nie zgadzali.

SIMPLICIO: Ja także stanąłbym w rzędzie zgadzających się: a że ciało spadające nabywa sił w spadku, gdy prędkość rośnie proporcjonalnie do drogi przebytej i moment jego uderzenia jest podwójny przy dwa razy większej wysokości, to do tych podań można się przyłączyć bez wstrętu i przeciwu.

SALVIATI: A jednak są one równie fałszywe i niemożliwe jak to, że ruch odbywa się momentalnie. l oto najjaśniejsze dowodzenie. Gdyby prędkości były proporcjonalne do dróg przebytych lub mających być przebytymi, to by te drogi przebywane były w czasach równych; skoro więc prędkość, z jaką ciało spadające przebywa cztery łokcie, miałaby być dwa razy większa od prędkości ruchu dwóch pierwszych łokci, to musiałyby czasy tych dwóch przebiegów być sobie równe; ale przebieg przez to samo ciało czterech łokci w tym samym czasie co i dwóch łokci, możliwy jest tylko przy ruchu momentalnym, a my widzimy, że ciało spadające dokonuje swego ruchu w czasie i w mniejszym przeciągu czasu przebywa dwa łokcie aniżeli cztery; fałszem więc jest, aby prędkość ciała spadającego wzrastała tak, jak przebyta droga. Dowieść można z równą jasnością, że i drugie podanie jest błędne. Bo ponieważ ciało uderzające jest to samo, różnica i moment uderzeń określane są tylko różnicą prędkości. Gdyby ciało spadające z podwójnej wysokości wytwarzało podwójny moment uderzenia, to musiałoby uderzać z podwójną prędkością; ale z podwójną prędkością ciało przebywałoby w tym samym czasie podwójną drogę, a my widzimy, że czas spadku z większej wysokości jest dłuższy.

 SAGREDO: Z nadzwyczajną jasnością i łatwością objawiacie nam ukryte wnioski; ta wielka łatwość czyni je mniej cennymi, niż gdy bywały stawiane wobec prawdopodobieństwa sprzeciwu. Myślę, że mniej ceniłbym ogólne wiadomości, nabyte z tak małym trudem, w porównaniu z tymi, co do których prowadzono długie a niepojęte rozprawy.

SALVIATI: Byłoby to jeszcze znośne, gdyby ci, którzy krótko i jasno wykazują błędy podań, poczytywanych ogólnie za prawdziwe, otrzymywali tylko pogardę zamiast uznania; ale więcej jeszcze nieprzyjemnego i przykrego wrażenia doznają ci, którzy w tym samym dziale wiedzy starając się dorównać każdemu, dowiadują się potem, że pominęli prawdziwe wnioski, które przez innego krótką i łatwą rozprawą zostały wykryte i wykazane jako błędne. Nie nazwę tego uczucia zazdrością, zamieniającą się zwykle w gniew i nienawiść do odkrywców takich błędów, ale powiem, że jest to pobudką albo pożądaniem, aby raczej trzymać się zastarzałych błędów, aniżeli pozwalać na przyjęcie nowo odkrytej prawdy, które to pożądanie prowadzi nieraz do stawiania sprzeciwu prawdzie przez siebie podzielanej, dlatego tylko, aby się skłonić do poglądu licznego a mało inteligentnego tłumu innej opinii. O takich fałszywych wnioskach, przyjmowanych za prawdziwe i o łatwych sprzeciwach, często słyszałem mówiącego naszego akademika, i dobrze to zapamiętałem.

SAGREDO: Nie powinna nas Waszmość tego pozbawiać, ale przy sposobności nam zakomunikować, nawet, gdyby trzeba było poświęcić temu osobne posiedzenie. Tymczasem, ciągnąc dalej nasze rozprawy, ustalające określenie ruchu jednostajnie przyspieszonego, dochodzimy do następującego:

Ruchem równomiernie albo jednostajnie przyspieszonym nazywamy ruch taki, przy którym, od wyjścia ze spoczynku, w czasach równych, dochodzą równe momenty prędkości.

SALVIATI: Po ustaleniu tego określenia, stawia nasz autor i przyjmuje za prawdziwą taką zasadę:

Przyjmuję, że stopnie prędkości nabyte przez toż samo ciało, przy różnych nachyleniach równi pochyłych, są sobie równe, skoro wysokości tych równi są równe.

Wysokością równi pochyłej nazywa prostopadłą, spuszczoną z najwyższego punktu tej równi na linią poziomą, przechodzącą przez najniższy punkt tejże równi pochyłej, jeżeli więc (rys. 44) BA jest równoległa do poziomu, nad którą wznoszą się równie pochyłe CA, CD, to będzie prostopadła CB, spuszczona na poziomą BA, nazwana przez autora wysokością równi CA, CD i przyjmuje on, że stopnie prędkości tegoż samego ciała, spadającego wzdłuż równi pochyłych CA, CD, nabyte w punktach końcowych A, D, są jednakowe, bo ta sama jest wysokość obu równi CB. I takiż sam jeszcze stopień prędkości miałoby ciało spadające z punktu C, przy końcu spadku w B.

SAGREDO: Istostnie, przypuszczenie to ma, o ile mi się zdaje, tyle prawdopodobieństwa, że zasługuje na przyjęcie bez sprzeciwu, zakładając zawsze, że usunięte zostaną wszystkie przypadkowe, zewnętrzne przeszkody i że równie są twarde i gładkie, a ciało m kształt doskonale okrągły, tak że i ciało i równia nie mają chropowatości. Gdy wszystkie te sprzeczności i przeszkody są usunięte, mówi mi zdrowy rozsądek bez trudności, że ciężka i doskonale okrągła kula schodząca po liniach CA, CD, CB, dochodziłaby do spodów A, D, B z jednakowymi impetami.

SALVIATI: Rozumujecie bardzo prawdopodobnie, lecz oprócz tego pragnę Warn przez jedno doświadczenie tak jeszcze wzmocnić to prawdopodobieństwo, abyście je mogli przyrównać do wystarczającego dowodzenia. Niech Wam ten papier przedstawia na poziomej płaszczyźnie wystawioną ścianę, na wbitym w nią gwoździu wisi kula ołowiana, jedno lub dwuuncjowa (rys. 46) zawieszona na cienkiej nici AB, dwa do trzech łokci długiej, prostopadle do poziomu; na ścianie narysujemy poziomą DC, przecinającą pod kątem prostym pionową AB, która na szerokość dwóch palców jest oddalona od ściany; jeżeli nić AB z kulą odchylimy do AC i puścimy kulę swobodnie, to zobaczymy, że ta spadając opisze łuk CBD, przeleci przez jego spód B i biegnąc po BD podniesie się prawie do narysowanej poziomej CD, nie dochodząc do niej tylko na bardzo a bardzo małą odległość, wskutek oporu powietrza i nici. Stąd możemy prawdziwie wnioskować, ze impet nabyty w punkcie B przez kulę, przy spadaniu po łuku CB, wystarcza, aby ją podnieść po łuku BD do tej samej wysokości; po zrobieniu i kilkakrotnym powtórzenie tego doświadczenia, jeżeli gwóźdź wbijamy na kierunku AB w E albo w F, tak aby sterczał na pięć lub sześć palców; to ten zatrzyma nić AC posuwającą się przy ruchu kuli po łuku CB i wbity w E zmusi kulę do ruchu po łuku BG, opisanym ze środka E, skąd widzimy, czego dokonać może ten sam impet, który przedtem, poczynając od tegoż samego punktu B, podnosił to samo ciało po łuku BD do wysokości poziomej CD. Teraz panowie zauważcie dobrze, że kula dochodzi do linii poziomej w punkcie G i to samo następuje, gdy przeszkodę umieścimy niżej, np. w F, wtedy kula opisze łuk BI, kończąc zawsze swe podnoszenie się dokładnie na linii CD; a gdyby gwóźdź przeszkadzający wbity był tak nisko, że reszta nici nie wystarczałaby do dosięgnięcia poziomu CD (co nastąpiłoby, gdyby gwóźdź był bliższy B niż punktu przecięcia AB z poziomą CD), to nić nawinęłaby się na gwóźdź. Doświadczenie to nie pozwala powątpiewać o prawdziwości przypuszczenia: bo ponieważ łuki CD i DB są równe i podobnie położone, więc nabytek momentu przy spadaniu po łuku CB jest ten sam, jak przy spadaniu po łuku DB; ale moment nabyty w B, na łuku CB, wystarcza do podniesienia tegoż samego ciała po łuku BD; więc i moment nabyty przy spadaniu po DB jest równy momentowi, który to samo ciało podnosi po tym samym łuku od B do D, tak że w ogóle każdy moment, osiągnięty przy spadku, jest równy temu, który może podnieść to samo ciało po tym samym łuku: ale wszystkie momenty, które mogą podnosić ciało po łukach BD, BG, BI, są sobie równe, bo są nabyte przez to samo ciało przy spadaniu po łuku CB, jak wykazało doświadczenie: a więc i wszystkie momenty, nabyte przy spadaniu po łukach DB, GB, IB, są sobie równe.

SAGREDO: Rozumowanie wydaje mi się tak ścisłe, a doświadczenie tak przystosowane do sprawdzenia postulatu, że ten postulat uważać można za dowiedziony.

SALVIATI: Ja sądzę, panie Sagredo, że nie potrzebujemy troszczyć się o to, że twierdzenie nasze stosować będziemy do ruchów po powierzchniach prostych a nie po krzywych, na których przyspieszenie inaczej się powiększa, aniżeli to przyjmujemy na płaszczyznach prostych. Gdy więc doświadczenie nas uczy, że spadanie ciała po łuku CB daje mu taki moment, że może się podnosić po którymkolwiek z łuków BD, BG, Bl, to nie możemy z równą widocznością wykazać, że to samo nastąpi, gdy zupełnie doskonała kula spada po płaszczyznach prostych, nachylonych tak samo jak cięciwy tych łuków; prawdopodobne jest raczej, że gdy utworzone będą kąty z tych płaszczyzn prostych w punkcie B, to kula spadająca po pochyłości wzdłuż cięciwy CB, doznając przeszkody na płaszczyznach podnoszących się wzdłuż cięciw BD, BG, Bl, przez uderzenia o nie, straciłaby na swoim impecie i nie mogłaby, podnosząc się, dojść do wzniesienia linii CD. Ale po usunięciu przeszkody, co przesądza doświadczenie, wydaje mi się zupełnie zrozumiałe, że impet (pochodzący istotnie od siły ilości spadku) starczyć powinien do doprowadzenia ciała do tej samej wysokości. Przyjmijmy to więc tymczasem za postulat, którego prawda absolutna później zostanie ustalona, gdy zobaczymy inne wnioski wynikające z tej hypotezy i sprawdzimy je ściśle doświadczeniem. Po postawieniu tej jednej zasady, przechodzi autor do twierdzeń ściśle dowodzonych, z których pierwsze jest następujące:

Twierdzenie I. Podanie I

Czas, w którym jakąkolwiek drogę przebywa ciało wychodzące ze spoczynku i poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym, jest równy czasowi, w którym by ta sama droga przebyta została przez to samo ciało, biegnące ruchem jednostajnym, którego stopień prędkości jest połową ostatniego i największego stopnia prędkości ruchu przyspieszonego.

Niech AB (rys. 47) przedstawia czas, w którym ciało, wychodzące ze spoczynku w C, przebywa ruchem jednostajnie przyspieszonym drogę CD; a stopień prędkości powiększający się na poszczególnych odstępach czasu AB, ostatni największy niech będzie EB, na prostopadłej do AB; poprowadźmy AE oraz wszystkie do EB równoległe i jednakowo od siebie odległe linie, to będą one przedstawiały rosnące stopnie prędkości, poczynając od A. Przepołówmy EB w F, poprowadźmy FG, AG, równoległe do AB, FB, prostokąt AGFB będzie równy trójkątowi AEB, bo GF przepoławia linię AE w punkcie I: a jeżeli równoległe w trójkącie AEB przedłużone zostaną do GIF, to będzie suma wszystkich równoległych zawartych w czworokącie równa sumie zawartych w trójkącie AEB; bo te, co są w trójkącie IEF, są równe tym, które się mieszczą w trójkącie GIA; podczas gdy zawarte w trapezie AlFB są wspólne. A że każdemu z odstępów czasu w AB odpowiada jedna linia i wszystkie punkty AB, przez które w trójkącie AEB poprowadzone zostały równoległe, przedstawiają rosnące stopnie prędkości, podczas gdy linie równoległe w prostąkocie wyobrażają taką samą liczbę tegoż samego stopnia prędkości jednostajnej, to jasne jest, że wszystkie momenty prędkości przy ruchu przyspieszonym przedstawione są przez rosnące równoległe w trójkącie AEB, a przy ruchu jednostajnym przez równe linie równoległe prostokąta GB: czego bowiem braknie momentom w pierwszej połowie ruchu przyspieszonego (braknie równoległych zawartych w trójkącie AGI), to przybywa momentom przez równoległe w IEF. A więc dwa ciała przebędą równe drogi w tym samym czasie, jedno biegnąc od początku ruchem jednostajnie przyspieszonym, a drugie ruchem jednostajnym ze stałą prędkością równą połowie największej prędkości nabytej w ruchu przyspieszonym, czego należało dowieść.

Twierdzenie II. Podanie II

Jeżeli ciało, wychodząc ze spoczynku, spada ruchem jednostajnie przyspieszonym, to drogi przebyte w jakichkolwiek czasach są do siebie w podwójnym stosunku czasów, tj. w stosunku kwadratów z czasów.

Niech długość (rys. 48) AB przedstawia czas upływający od pewnej chwili początkowej A, zawierając w sobie dwa jakiekolwiek czasy AD, AE; niech będzie także HI linia, po której ciało, wyszedłszy ze spoczynku w H, spada ruchem jednostajnie przyspieszonym; niech będzie dalej HL, droga przebyta w pierwszym odstępie czasu AD i HM takaż droga, po której spadek następuje w czasie AE. Twierdzę, że stosunek drogi MH do drogi HL jest równy podwójnemu stosunkowi czasu EA do czasu AD. Innymi słowy drogi MH, HL są do siebie w tym samym stosunku jak kwadraty z EA i AD. Poprowadźmy AC linię nachyloną pod jakimkolwiek kątem do AB, przez punkty D, E, poprowadźmy równoległe DO i EP, z których DO przedstawia maksimum stopnia prędkości nabytej w chwili D czasu AD, a PE takież maksimum stopnia prędkości nabytej w chwili E czasu AE. Ponieważ wyżej dowiedziono, że drogi przebyte ruchem jednostajnie przyspieszonym i ruchem jednostajnym o prędkości równej połowie największej prędkości nabytej w ruchu przyspieszonym są równe, - wynika stąd, że drogi MH i LH są takie, jak gdyby były przebyte ruchem jednostajnym z prędkościami 1/2 PE i 1/2 OD w czasach EA i DA. Gdyby teraz można było wykazać, że te drogi MH l LH mają się do siebie w podwójnym stosunku czasów EA i DA, to twierdzenie byłoby dowiedzione. Ale w czwartym twierdzeniu pierwszej księgi dowiedziono, że przy ruchu jednostajnym drogi przebyte mają się do siebie w stosunku złożonym ze stosunku prędkości i stosunku czasów: tu zaś stosunek prędkości jest taki sam jak stosunek czasów (bo 1/2 PE tak się ma do 1/2 OD, jak PE do OD a więc tak, jak AE do AD), zatem stosunek dróg przebytych jest podwójnym stosunkiem czasów, co było do dowodzenia.

Objaśnia to, że tenże stosunek dróg przebytych jest podwójnym stosunkiem najwyższych stopni prędkości, to jest linii PE i OD, bo tak się ma PE do OD, jak EA do DA.

Wniosek I

Wynika stąd, że jeżeli od początku ruchu wzięte będą następujące po sobie równe wielkości czasów, jak AD, DE, EF, FG, w ciągu których przebyte będą drogi HL, LM, MN, NI, to te drogi mieć się będą do siebie jak liczby nieparzyste, poczynając od jednosci, czyli jak 1, 3, 5, 7. Bo taki jest stosunek różnic kwadratów z linii, rosnących o jednakową długość i których przyrosty są równe najmniejszej z tych linii: innymi stówy różnic kwadratów z liczb po sobie idących od jedności. Gdy wiec stopnie prędkości rosną w czasach równych w prostym szeregu liczb, to drogi przebyte w tych czasach rosną w szeregu liczb nieparzystych, poczynając od jedności.

(...)

SIMPLICIO: Istotnie więcej mi się podoba proste i jasne przedstawienie pana Sagredo, niż nieco ciemne dla mnie dowodzenie Autora; tak że jestem dość mocno przekonany, że taki winien być przebieg sprawy, jeżeli postawione i przyjęte zostało określenie ruchu jednostajnie przyspieszonego. Ale czy takie jest przyspieszenie, którym się natura posługuje przy spadaniu ciężarów, o tym jeszcze wątpię i dlatego sądzę, że tak dla mnie, jak i dla innych, będących podobnego zdania, potrzeba by przeprowadzić w tym miejscu którekolwiek z doświadczeń, na których nie zbywa i które by w różnych przypadkach zgadzały się z wywiedzionemi wnioskami.

SALVIATI: Jak prawdziwy uczony, stawia Waszmość zupełnie uprawnione żądanie, praktykowane i odpowiednie w naukach, stosujących twierdzenia matematyczne do wyników naturalnych, jak to widzimy w perspektywie, astronomii, mechanice, muzyce i innych naukach; wszystkie one wzmacniają swe zasady przez doświadczenie, stanowiące fundament całej dalszej budowy: nie sądzę też, aby się wydało zbyteczne, że rozpatrywać będziemy dłużej tę pierwszą i główną podstawę, na której się opiera olbrzymi zespół nieskończonej liczby wniosków, których małą część tylko mamy w tej księdze postawioną przez Autora, a ten dość uczynił, aby udostępnić dalsze rozważanie tej sprawy. Autor nie pominął przedstawienia doświadczeń a dla przekonania się o tym, że przyspieszenie spadających ciał ważkich odbywa się w wyżej przedstawionym stosunku, wielokrotnie razem z nim w następujący sposób wykonywałem doświadczenie.

Na liniale, albo raczej na desce drewnianej, 12 łokci długości, 1/2 łokcia szerokości, a 3 cale grubości, na wąskim boku wydrążono rowek, mający nieco więcej niż 1 cal szerokości. Wyciągnięty był jak najregularniej prosto, i aby miał gładką powierzchnię, wyklejony został gładkim i czystym pergaminem; spuszczono biegnącą w tym rowku okrągłą i gładko obtoczoną kulę z bardzo twardego mosiądzu. Deskę zawieszano z jednej strony podniesioną, to na jeden, to na dwa łokcie, po czym puszczano kulę w rowku i w sposób, który zaraz będzie wskazany, oznaczano czas spadania wzdłuż całego rowka: każde doświadczenie powtarzano wielokrotnie dla ścisłego wypośrodkowania czasu i nie znaleziono żadnej różnicy, ani nawet na 1/10 uderzenia pulsu. Następnie puszczano kulę przez ćwierć długości rowka i znajdowano stale połowę poprzedniego czasu spadania. Brano następnie inne długości drogi i porównywano mierzony czas spadania z ostatnio otrzymanym, z jego 2/3, albo 3/4 lub innymi częściami; przy stokrotnem prawie powtarzaniu otrzymywaliśmy stale, że drogi są proporcjonalne do kwadratów z czasów: i to dla każdego nachylenia równi tj. rowka, w którym biegła kula. Znaleźliśmy przy tym, że przy różnych nachyleniach, czasy obserwowane tak się mają do siebie, jak to niżej wykazuje i dowodzi nasz Autor. Do mierzenia czasu używaliśmy kubła pełnego wody, z małym otworem w dnie, przez który wychodziła cienka żyła wody, łapana w mały kubek, w ciągu każdego obserwowanego czasu spadania. Zbierana w ten sposób woda była dokładnie ważona i z różnic ważeń otrzymaliśmy stosunki ciężarów i stosunki czasów; i to z taką dokładnością, że wielokrotnie powtarzane obserwacje nie dawały nigdy wydatnej różnicy.

SIMPLICIO: Z wielkiem zadowoleniem byłbym uczestniczył w tych doświadczeniach, ale przekonany o waszej pilności i wiernym ich przedstawieniu, jestem spokojny i przyjmuję je jako zupełnie pewne i prawdziwe.

SALVIATI: Możemy więc wrócić do naszego czytania i iść dalej.

Wniosek II

Wynika po wtóre, że jeżeli od początku ruchu wzięte będą jakiekolwiek dwie drogi, przebyte w jakichkolwiek czasach, to te czasy mają się do siebie jak jedna z dróg do średniej proporcjonalnej między dwiema drogami. Bo przyjmując (rys. 49) początek w S i dwie drogi ST i SV i oddawszy średnią proporcjonalną SX, będzie się miał czas spadku po ST do czasu spadku po SV, jak ST do SX; innymi słowy, czas po SV do czasu po ST jak VS do SX. Bo ponieważ dowiedziono, że drogi mają się do siebie jak kwadraty z czasów, stosunek zaś dróg VS do ST jest równy podwójnemu stosunkowi VS do SX, czyli stosunkowi kwadratów z VS i SX; a więc czasy spadku po SV i ST jak drogi VS do SX.

Scholium

Co dowiedziono dla spadku pionowego, odnosi się także do jakkolwiek nachylonych równi; na tych równiach stopień przyspieszenia wzrasta w tym samym stosunku, mianowicie proporcjonalnie do czasu, tj. jak szereg liczb całkowitych.

SALVIATI: Pragnąłbym tu, Mości Sagredo, abyście mi, choćby to nawet miało nieco znudzić pana Simplicio, pozwolili przerwać na chwilę czytanie, abym mógł objaśnić, ile, na zasadzie tego, co dotąd dowiedziono, jak i opierając się na niektórych wnioskach mechanicznych naszego Akademika, mogę dodać z pamięci, dla większego wzmocnienia prawdziwości wniosków, otrzymanych wyżej przez rozumowanie i doświadczenie: ale przedtem, dla geometrycznego dowodzenia, ważne jest wyprowadzenie jednego elementarnego twierdzenia pomocniczego, odnoszącego się do impetów.

SAGREDO: Jeżeli taki ma być nabytek, jak Waszmość obiecuje, to żaden czas nie będzie dla mnie zbyt długim, aby go z ochotą nie spożytkować, dla pogłębienia naszej wiedzy o ruchu: i co do mnie, prosić mogę tylko o zaspokojenie jak najprędzej mej ciekawości; a sądzę że p. Simplicio jest tego samego zdania.

SIMPLICIO: Nie mogę nic innego powiedzieć.

SALVIATI: Skoro pozwalacie, rozważmy najpierw znane dobrze zjawisko, że momenty, albo prędkości tegoż samego ciała, przy różnych nachyleniach równi, są różne i że mają największą wartość przy kierunku prostopadłym do poziomu, a na równi nachylonej są tym mniejsze, im więcej równia odchyla się od pionu, toteż impet, zdolność, energia albo, jak powiemy, moment spadania ciała, zmniejsza się przez równię, na której ciało się opiera i po której spada.

Dla lepszego objaśnienia (rys. 51), niech będzie linia AB, prostopadła do poziomu AC, stawiana następnie w różnych nachyleniach do poziomu jak AD, AE, AF itd.; twierdzę, że ciało spadające po prostopadłej BA będzie miało impet zupełny i największy, mniejszy spadając po DA, jeszcze mniejszy po EA i wciąż zmniejszający się przy spadaniu po FA, a w końcu zupełnie wyczerpany na poziomej CA, gdzie ciało znajduje się w stanie obojętnym tak dla ruchu jak i dla spoczynku i samo przez się nie ma skłonności do poruszania się w którąkolwiek stronę i nie stawia żadnego oporu ruchowi; bo ponieważ jest niemożliwe, aby ciało ważkie lub zespół takich ciał sam przez się podnosił się w górę, oddalając się od wspólnego środka (commune centro), do którego dążą wszystkie rzeczy ważkie, to niemożliwe jest także, aby się samo przez się poruszało, jeżeli by przy takim ruchu jego własny środek ciężkości nie zbliżał się do wzmiankowanego wspólnego środka: na poziomej więc, która tu oznacza pewną powierzchnię, wszędzie równo oddaloną od tego środka i dlatego nie mającą żadnego nachylenia, impet albo moment tego ciała będzie żaden. Odnośnie do tych zmian impetów, muszę jeszcze zaznaczyć to, co w jednym dawnym traktacie mechaniki, ułożonym kiedyś w Padwie przez naszego Akademika, wyłącznie dla użytku jego uczniów, było wyczerpująco i gruntownie dowiedzione, przy okazji rozważania początku i natury przedziwnego narzędzia, śruby, a mianowicie badania, w jakim stosunku następuje zmiana impetu przy różnych nachyleniach równi, jak np. na równi AF, której jeden koniec jest wzniesiony na wysokość FC nad poziomem i wzdłuż tej wysokości impet ciała ważkiego i moment spadania jest największy, szuka się tedy, w jakim stosunku jest ten moment do momentu spadania tegoż ciała po równi FA. Twierdzę, że ten stosunek jest odwrotnym stosunkiem tych długości i to właśnie jest twierdzenie pomocnicze, służyć mające przy twierdzeniu, którego mam nadzieję w następstwie móc dowieść. Jasne jest, że taki jest impet ciała spadającego, jaki jest opór, albo najmniejsza siła, wystarczająca do przeszkodzenia spadkowi i zatrzymania: dla zmierzenia tej siły, czy tego oporu, użyję ciężkości innego ciała. Wyobraźmy sobie teraz, że na równi FA leży ciało G, zaopatrzone w nitkę, która przewinięta przez F ma przywiązany ciężar H i weźmy pod uwagę, że droga spadania albo podnoszenia się pionowego tego ostatniego, jest wciąż równa całkowitemu podnoszeniu się lub spadaniu ciała G po równi pochyłej AF, ale nie już jego podnoszeniu się lub spadaniu pionowemu, w którym to kierunku ciało G (podobnie jak każde inne) wywiera swój opór, co jest oczywiste; bo biorąc pod uwagę trójkąt AFC, mamy ruch ciała G np. pod górę, od A do F, złożony z poprzecznego poziomego AC i prostopadłego CF, a że pierwszy, jak powiedziano, nie doznaje żadnego oporu (bo przy tym ruchu nie ma żadnego zmniejszenia lub powiększenia odległości od wspólnego środka wszystkich ciał, gdyż ta na poziomie pozostaje zawsze ta sama), pozostaje więc tylko opór przy podnoszeniu się wzdłuż prostopadłej CF. Skoro więc ciało G, przy ruchu od A do F opiera się tylko podnoszeniu na wysokość CF, a drugie ciało H w kierunku pionowym przebywa drogę równą spadkowi FA, i ten stosunek podnoszenia się i opadania pozostaje zawsze ten sam, przy mniejszym lub większym ruchu tych ciał (gdyż są one ze sobą związane), możemy więc jak najpewniej twierdzić, że gdy ma nastąpić równowaga tj. stan spoczynku dla ciał, to ich momenty, prędkości, skłonności do ruchu, tj. drogi, jakieby były przebyte przez te ciała w tym samym czasie, są do siebie w stosunku odwrotnym do ciężkości tych ciał, co jest dowiedzione dla wszystkich ruchów mechanicznych, tak że wystarczy do zatrzymania spadku ciała G, aby ciało H tyle razy mniej ważyło od G, ile wynosi stosunek FC do FA. Jeżeli więc zrobimy, że tak się ma FA do FC, jak ciężar G do ciężaru H, to następuje równowaga, bo H i G będą miały równe momenty i ustanie ich ruch. I skoro tylko umówimy się, że impet, energia, moment lub skłonność ciała do ruchu tyle wynosi, co siła lub opór najmniejszy, wystarczający do zatrzymania i gdy dowiedziono, że ciężar H wystarcza do utrzymywania ruchu ciężaru G, to będzie mniejszy ciężar H, działający w kierunku pionowym FC całym swym momentem, ścisłą miarą momentu cząstkowego wywieranego przez ciężar G na równi pochyłej FA; ale miarą całego momentu tegoż ciężaru G jest sam ten ciężar (gdyż dla przeszkodzenia spadkowi pionowemu ciężaru użyć trzeba przeciwwagi tak ciężkiej, jak gdyby ciężar miał swobodę ruchu pionowego); impet zatem albo moment cząstkowy ciała G wzdłuż równi pochyłej FA, do całkowitego albo maksymalnego impetu tegoż G na pionowej FC, stać będzie jak ciężar H do ciężaru G, tj. na rysunku jak prostopadła FC wysokość równi pochyłej do tejże pochyłej FA i tego mieliśmy dowieść twierdzeniem pomocniczem, które nasz autor, jak zobaczymy, przyjmuje jako znane w drugiej części szóstego podania niniejszej rozprawy.

SAGREDO: Z tego, co Waszmość wywiodła, można, jak mi się zdaje łatwo wywnioskować, gdy się weźmie pod uwagę więcej stosunków odwrotnych, że momenty jednego i tegoż samego ciała, wzdłuż równi różnego nachylenia, jak FA, FI, a jednakowej wysokości, są do siebie w stosunku odwrotnym długości tych równi.

SALVIATI: Wniosek jak najprawdziwszy. Gdy to załatwione, przejdę teraz do dowiedzenia następującego twierdzenia:

Stopnie prędkości ciała spadającego ruchem naturalnym z tej samej wysokości, po równiach pochyłych, w jakikolwiek sposób nachylonych, przy dojściu do poziomu są stale równe, jeżeli usunięto przeszkody.

Ostrzec tu winienem najpierw, że skoro ustalono, iż przy każdYm nachyleniu, ciało po wyjściu ze spoczynku porusza się z rosnącą prędkością albo ilością impetu, proporcjonalnie do czasu (zgodnie z określeniem ruchu naturalnie przyspieszonego, danym przez autora), to, jak dowiedziono w poprzedniem podaniu, drogi przebyte są do siebie w podwójnym stosunku czasów, a więc także i stopni prędkości; jakie więc będą impety pierwszego ruchu, takie proporcjonalnie będą stopnie prędkości, nabyte w tym samym czasie, bo tak jedne jak i drugie rosną w tym samym stosunku w ciągu tego czasu.

Niech będzie (rys. 52) równia pochyla AB, której wzniesieniem nad poziom jest prostopadła AC i pozioma BC; a że dopiero co wywiedziono, że impet ciała spadającego po prostopadłej AC ma się do impetu tegoż po równi pochyłej AB, jak AB do AC, weźmy na równi pochyłej AB, do AB i AC trzecią proporcjonalną AD; impet więc po AC ma się do impetu po AB, czyli po AD, jak AC do AD, a więc ciało, w tym samym czasie, w jakim by przebiegło drogę prostopadłą AC, przebiegnie drogę AD po równi pochyłej AB (bo momenty mają się do siebie jak drogi), a stopień prędkości w C do stopnia prędkości w D będzie się miał jak AC do AD; ale stopień prędkości w B ma się do tegoż stopnia w D jak czas spadania po AB do czasu spadania po AD, według określenia ruchu przyspieszonego, a czas spadania po AB do czasu po AD, jak AC średnia proporcjonalna między BA i AD do AD, zgodnie z ostatnim wnioskiem drugiego podania, zatem stopnie prędkości w B i C mają się do stopnia w D jak AC do AD, a więc są równe, co było twierdzeniem, jakie zamierzono dowieść.

Na tej podstawie będziemy teraz mogli łatwiej dowieść następującego trzeciego podania autora, w którem posługuje się on zasadą, że czas spadania po równi pochyłej ma się do czasu spadku pionowego jak długość równi pochyłej do jej wysokości. Bo jeżeli BA jest czas spadania po AB, to czas spadania po AD będzie średnią między nimi dwiema, a więc równy AC, według drugiego wniosku drugiego twierdzenia. Ale jeżeli AC jest czasem spadku po AD, to będzie zarazem czasem spadku po AC, tak że AD i AC przebywane są w czasach równych i skoro BA jest czasem spadku po AB, to AC będzie czasem spadku po AC, a więc jak AB do AC, tak się ma czas po AB do czasu po AC.

Tak samo dowieść można, że czas po AC do czasu po innej równi pochyłej AE ma się jak AC do AE; skąd ex aequali, czas po równi pochyłej AB do czasu po równi pochyłej AE ma się również jak AB do AE itd.

Można by jeszcze, za pomocą takiego samego szeregu twierdzeń, jak to zaraz zobaczy p. Sagredo, dowieść bezpośrednio szóstego podania autora; ale dość już tego zbaczania od przedmiotu, które mogło się Waszmościom wydać zbyt długi, jakkolwiek przyniosło to istotny pożytek w tej kwestii ruchu.

SAGREDO: Przeciwnie, bardzo mi przypadło do gustu i było jaknajpotrzebniejsze do dokładnego zrozumienia tej zasady.

SALVIATI: Wracam więc do czytania tekstu.

Twierdzenie III. Podanie III

Jeżeli po równi pochyłej i po prostopadłej, jednakowej wysokości, wyrusza ze spoczynku to samo ciało, to czasy tych ruchów będą się miały do siebie jak długości równi i prostopadłej.

Niech będzie (rys. 53) równia pochyła AC i prostopadła AB, których wysokość jest jednakowa nad poziomem CB, jest nią mianowicie sama linia BA: twierdzę, że czas spadku tego ciała po równi AC do czasu spadku po prostopadłej AB, ma się tak, jak długość równi AC do długości prostopadłej AB. Poprowadźmy jakiekolwiek linie DG, El, FL, równoległe do poziomu CB; wiadomo z wyłożonego, że stopnie prędkości ciała, biegnącego od pierwszego początku ruchu w A, nabyte w punktach G, D, są równe, bo zbliżenie do poziomu jest jednakowe: podobnie takie będą stopnie w punktach I, E, jak również w L i F. Jeżeli poprowadzimy nie tylko te równoległe, lecz inne przechodzące przez wszystkie punkty linii AB i ciągnące się aż do linii BC, to w punktach końcowych każdej równoległej momenty czyli stopnie prędkości będą zawsze jednakowe. Drogi więc AC i AB przebywane będą z tym samym stopniem prędkości. Lecz dowiedzione było, że jeżeli dwie drogi przebywane są z tymi samymi stopniami prędkości, to te drogi są proporcjonalne do czasów ruchu; a więc czas spadania po AC ma się do czasu po AB, jak długość równi AC do długości prostopadłej AB, c.b.d.d.

SAGREDO: Zdaje mi się, że można by to jasno i krótko wywieść z poprzedniego wniosku, orzekającego, że drogi przebyte ruchem przyspieszonym, wzdłuż AC i AB, są równe drogom przebytym ruchem jednostajnym ze stopniem prędkości równym połowie największego stopnia CB; skoro więc dwie drogi AC i AB przebywane są tym samym ruchem jednostajnym, to oczywistem jest, na mocy pierwszego podania, że czasy ruchu są proporcjonalne do dróg.

Wniosek

Wynika stąd, ze czasy spadku, wzdłuż różnie nachylonych równi jednakowej wysokości są proporcjonalne do długości tych równi. Bo jeżeli jakakolwiek równia AM schodzi z tegoż samego punktu A i kończy się na tym samym poziomie CB, to tak samo dowieść można, że czasy spadku po AM i po AB są proporcjonalne do dróg AM i AB; ale jak czasy wzdłuż AB i AC, tak samo mają się do siebie linie AB i AC, a więc ex aequali jak AM do AC, tak się ma czas spadku po AM do czasu spadku po AC.

Twierdzenie IV. Podanie IV

Czasy spadku wzdłuż jednakowo dtugich, a różnie nachylonych równi pochytych, są do siebie w stosunku odwrotnym pierwiastków kwadratowych z wysokości tych równi.

(...)

Twierdzenie V. Podanie V

Stosunek czasów spadku po równiach różnego nachylenia, różnej długości i różnej wysokości, składa się ze stosunku dlugości równi i odwrotnego stosunku pierwiastków kwadratowych z wysokości.

(...)

Twierdzenie VI. Podanie VI

Jeżeli, czy to z najwyższego punktu, czy też ze spodu koła, poprowadzimy jakiekolwiek równie pochyłe dochodzące do obwodu, to czasy spadku po tych równiach będą równe.

(...)

Wniosek I

Wynika stąd, ze czasy spadku po wszystkich przez C i D przechodzących cięciwach są równe.

Wniosek II

Wynika także, że jeżeli z jednego punktu schodzą prostopadła i równia pochyla, po których czasy spadku są równe, to mieszczą się one w półkolu, którego średnicą jest wymieniona prostopadła.

Wniosek III

Wynika jeszcze, że czasy spadku po równiach pochytych są sobie równe wtedy, gdy wysokości równych części tych równi mają się do siebie, jak długości tych równi; wiadomo bowiem, że czasy spadku po CA, DA, na przedostatnim rysunku, są równe, gdy wysokość części AB równej AD, mianowicie BE, tak się ma do wysokości D F, jak CA do DA.

SAGREDO: Zechce Waszmość przerwać na chwilę czytanie, póki nie wyjaśnię sobie jednej myśli, którą właśnie powziąłem, a która, o ile nie jest mrzonką, zbliża się do wdzięcznej igraszki, jak te wszystkie zdarzające się w naturze lub z konieczności.

Widać, że, jeżeli z jednego punktu płaszczyzny poziomej poprowadzimy na tej płaszczyźnie linie proste we wszystkich kierunkach i przypuścimy, że po każdej z tych linii porusza się jeden punkt ruchem jednostajnym, a przy tym wszystkie te punkty wychodzą w tym samym czasie z punktu oznaczonego i prędkość ich jest jednakowa, to będą one wszystkie stale i zawsze znajdować się na wciąż rosnącym okręgu koła i wszystkie te koła mieć będą wspólny środek w punkcie oznaczonym, zupełnie w ten sam sposób, jak na powierzchni wody stojącej kamyk, który spada z wysokości wytwarza swym uderzeniem małe pole rozchodzące się we wszystkich kierunkach, wciąż rosnącymi kręgami. Lecz jeżeli ustawimy płaszczyznę prostopadle do poziomu i u jej szczytu oznaczymy jeden punkt, z którego rozchodzić się będą na tej płaszczyźnie, w różnych kierunkach możliwych, linie nachylone, a po tych liniach spadać będą ciężary ruchem naturalnie przyspieszonym, to jak się ułożą te ciężary, przyjmując, że pozostają wciąż widoczne? Budzi to mój podziw, że zgodnie z poprzedniemi podaniami, widzieć będziemy zawsze, że wszystkie znajdują się na wciąż rosnącym okręgu koła, w miarę jak spadając oddalają się od punktu wyjścia: i dla lepszego objaśnienia (rys. 58) naznaczmy punkt najwyższy A, z którego rozchodzą się linie jakkolwiek nachylone AF, AM, a także pionowa AB, na której leżą C, D, środki obu kół przechodzących przez A, a przecinających obie linie nachylone w punktach F, H, B, E, G, I. Widać z poprzednich dowodzeń, że jeżeli ciała wyruszają równocześnie z A w różnych kierunkach, to znajdować się one będą równocześnie jedno w E, drugie w G, trzecie w I i dalej spadając dojdą równocześnie do F, H, B i tak dalej, nieskończenie wiele ciał dochodzić będzie równocześnie do coraz większych okręgów kół aż do nieskończoności. Z dwóch więc rodzajów ruchu, którymi posługuje się natura, powstaje cudownie odpowiadająca różność nieskończonej liczby kół. Tam widzimy siedlisko i początek w środku nieskończenie wielu kół współśrodkowych, a tu w najwyższym punkcie styczność nieskończenie wielu kół różnośrodkowych. Jedne powstają z ruchu równego i jednostajnego, a drugie z ruchów samych w sobie nierównych, różnych jeden od drugiego i odbywających się po nieskończonej liczbie różnych nachyleń. Ale dodamy nadto, ze jeżeli z obu wymienionych punktów poprowadzimy linie, nie tylko na płaszczyźnie pionowej i poziomej, ale we wszystkich kierunkach przestrzeni, to ujrzymy, zamiast kół wychodzących jak poprzednio z obu punktów, powstającą nieskończoność kul, albo lepiej kulę rosnącą do nieskończoności. I to w dwojaki sposób, raz z początkiem w środku, a drugi raz na obwodzie takich kul.

SALVIATI: Jest to zaiste bardzo piękna myśl, odpowiadająca bystrości pana Sagredo.

SIMPLICIO: Zrozumiałem tę myśl odnośnie do obu sposobów, w jaki się tworzą koła lub kule, odpowiednio do dwóch rodzajów ruchu naturalnego, jakkolwiek powstawanie kół przy ruchu przyspieszonym nie jest dla mnie jasne w swej całości; w każdym razie możność oznaczania początku ruchu, już to w środku już też na szczycie powierzchni kulistej, każe mi myśleć, że zachodzi tu może jakaś wielka tajemnica, w tych prawdziwych a cudownych wnioskach; mam tu na myśli tajemnicę dotyczącą stworzenia świata, uważanego za mający kształt kulisty i siedlisko pierwszej przyczyny.

SALVIATI: Nie wzbraniałbym się i w to uwierzyć, ale sądzę, że podobnie głębokie rozważania związane są z naukami wyższymi od tych, jakie nas zajmują. Nam powinno wystarczać, gdy będziemy tymi podrzędniejszymi pracownikami, którzy odnajdują i wydobywają marmur w kopalni, z którego później pomysłowi rzeźbiarze tworzą cudowne postaci, znajdujące się w ukryciu pod grubą i bezkształtną powłoką. Jeżeli więc pozwolicie pójdziemy dalej.

Twierdzenie VII. Podanie VII

Jeżeli wysokości dwóch równi mają się do siebie jak kwadraty z ich długości, to czasy spadku po tych równiach od wyjścia ze spoczynku będą sobie równe.

(...)

Twierdzenie VIII. Podanie VIII

Na równiach, wychodzących z punktów postawionego na poziomie okręgu koła, a dochodzących do dolnego lub górnego końca średnicy pionowej, czasy spadku są równe czasowi spadku po średnicy: na równiach nie dochodzących do średnicy są krótsze, a na przecinających średnicę dłuższe.

(...)

Twierdzenie IX. Podanie IX

Jeżeli z punktu, wziętego na linii poziomej, schodzą dwie jakkolwiek nachylone równie i zostaną przecięte linią tworzącą z nimi kąty, równe na przemian nachyleniom równi, to czasy spadku po równiach, od punktu początkowego do przecięć z linią sieczną, będą sobie równe.

(...)

Twierdzenie X. Podanie X

Czasy spadku po równiach różnego nachylenia a równej wysokości, mają się do siebie jak długości tych równi, bez względu na to, czy ruch się zaczyna od punktu wyjścia ze spoczynku czy też od punktów jednakowej wysokości.

(...)

Twierdzenie XI. Podanie XI

Jeżeli równia, po której odbywa się ruch, zaczynając od spoczynku, w jakikolwiek sposób zostanie podzielona, to czasy spadku po dwóch jej częściach mają do siebie jak długość pierwszej części do przewyżki ponad tę część średniej geometrycznej, między długością całej równi a tąż pierwszą częścią.

(...)

Twierdzenie XII. Podanie XII

Jeżeli prostopadła i równia jakkolwiek nachylona przecinają się miedzy dwiema liniami poziomymi i jeżeli weźmiemy średnie proporcjonalne między ich długościami a długościami ich części zawartych między wzajemnym ich przecięciem a górną linią poziomą, to czas spadku po prostopadtej ma się do czasu spadku po linii złożonej z górnej części prostopadłej i dolnej nachylonej jak cała długość prostopadłej do sumy dwóch dróg, z których jedna jest średnią proporcjonalną między prostopadłymi, a druga przewyżką całej równi pochyłej nad średnią proporcjonalną między długościami całej równi i jej części dolnej.

(...)

Zadanie I. Podanie XIII

Mając daną prostopadłą, dostawić do jej spodu równię pochylą, tej samej wysokości, ale taką aby spadek po niej, następujący w dalszym ciągu spadku po prostopadłej, odbywał się w tym samym czasie, jak po prostopadłej od wyjścia ze spoczynku.

(...)

Zadanie II. Podanie XIV

Dane są: prostopadła i równia do niej nachylona; odciąć długość na górnej części prostopadłej taką, aby od wyjścia ze spoczynku w tym samym czasie została przebyta co i równia pochyła w dalszym ciągu spadku po przebyciu szukanego odcinka.

(...)

Zadanie III. Podanie XV

Dane są: prostopadła i równia do niej nachylona; na dolnem przedłużeniu prostopadlej wyznaczyć odcinek, który by w dalszym ciągu spadku wzdłuż danej prostopadlej, przebyty był w tym samym czasie co i równia pochyła w dalszym ciągu tego spadku.

(...)

Twierdzenie XIII. Podanie XVI

Jeżeli części równi pochyłej i prostopadłej, czasy spadku po których od wyjścia ze spoczynku są równe, zaczynają się w jednym i tym samym punkcie, to ciało spadające z jakiejkolwiek wysokości przebywać będzie drogę po równi pochytej prędzej niż po prostopadłej.

(...)

Wniosek

Z tego i z poprzedniego wynika, że droga, która po spadku z wyższego punktu przebywana jest w tym samym czasie po prostopadłej i po równi pochyłej, jest mniejszą od drogi, przebytej w tym samym czasie po równi pochyłej, ale niepoprzedzonej spadkiem z wyższego punktu, a znów większą od samej równi pochyłej, gdyż dowiedziono poprzednio, że w dalszym ciągu (rys. 71) spadku z wyższego punktu A czas spadku wzdłuż EC jest krótszy niż poprzedzający po EB, a więc droga przebywana w czasie spadku po EB równym czasowi spadku po EC jest mniejsza od całej drogi EB. Że zaś ta droga prostopadła jest większa od EC, to okaże się jasne po rozpatrzeniu rysunku poprzedniego podania, gdzie dowiedziono, że droga prostopadła BG przebyta zostaje w tym samym czasie co i droga BC w dalszym ciągu spadku po AB: że zaś BG jest większe od BC, tak się dowodzi. Ponieważ BE i FB są sobie równe, a BA mniejsze od BD, przeto większy jest stosunek FB do BA aniżeli EB do BD, a stąd FA do AB większy aniżeli ED do DB; tak się ma zatem FA do AB. jak GF do FB (jest bowiem AF średnią proporcjonalną między BA i AG), i podobnie jak ED do BD, tak się ma CE do EB; więc stosunek GB do BF jest większy aniżeli CB do BE, a więc GB większe od BC.

Zadanie IV. Podanie XVII

Dane są: prostopadła i dochodząca do niej równia pochyła. Oznaczyć na tej ostatniej drogę, która by w dalszym ciągu spadku po prostopadłej była przebyta w tym samym czasie, co droga po prostopadłej od wyjścia ze spoczynku.

(...)

Zadanie V. Podanie XVIII

Na prostopadłej, od początku ruchu, odcięta jest droga przebywana w danym czasie, i dany jest inny czas krótszy; oznaczyć na tej prostopadlej inną drogę, która była by przebyta w tym danym krótszym czasie.

(...)

Zadanie VI. Podanie XIX

Dana jest jakakolwiek droga na prostopadłej, od punktu wyjścia ze spoczynku i dany czas spadku: oznaczyć czas, w ciągu którego przebyta zostanie przez to samo ciało droga tej samej długości, wzięta w innym miejscu prostopadłej.

(...)

Wniosek

Wynika stąd, że jeżeli czas spadku po jakiej drodze, od punktu wyjścia ze spoczynku, jest równy tej drodze, to czas spadku po tej drodze, w dalszym ciągu spadku po części dodanej, będzie równy przewyżce średniej proporcjonalnej między sumą obu dróg i daną drogą, ponad średnią proporcjonalną między daną drogą i częścią dodaną. Bo jeżeli (rys. 75) czas spadku po AB, od punktu wyjścia ze spoczynku w A jest AB, to po dodaniu części AS mieć będziemy czas spadku po AB w dalszym ciągu spadku po SA równy przewyżce średniej proporcjonalnej między SB i BA ponad średnią proporcjonalną między BA i AS.

Zadanie VII. Podanie XX

Dana jest jakakolwiek droga i na niej część przy początku; oznaczyć inną część na drugim końcu, która by była przebyta w tym samym czasie co i pierwsza cześć dana.

(...)

Twierdzenie XIV. Podanie XXI

Jeżeli spadek odbywa się po prostopadłej od wyjścia ze spoczynku i od początku ruchu przebyta zostanie pewna część drogi w ciągu pewnego czasu, a następnie ciało spada po jakiejkolwiek równi pochyłej, to droga, w tym samym czasie po tej równi przebyta, będzie od drogi przebytej po prostopadłej więcej niż dwa razy, a mniej niż trzy razy większą.

(...)

Zadanie VIII. Podanie XXII

Dane są dwa nierówne odstępy czasu, oraz droga wzdłuż prostopadłej przebywana po wyjściu ze spoczynku w ciągu krótszego odstępu; poprowadzić z wierzchołka prostopadłej równię pochyłą taką, aby dochodziła do poziomu i była przebyta w ciągu dłuższego z dwóch danych odstępów czasu.

(...)

Zadanie IX. Podanie XXIII

Dana jest droga po prostopadłej, przebyta od początku wyjścia ze spoczynku; przeprowadzić przez jej koniec równię pochyłą taką, aby w dalszym ciągu spadku po prostopadłej, część jej danej długości w tym samym czasie była przebyta i aby ta część była większa niż dwa razy, a mniejsza niż trzy razy, dana droga po prostopadłej.

(...)

Scholium

Rozpatrując uważnie widzimy, że im mniejsza jest różnica (rys. 81) pomiędzy linią IR a potrojonym AC, tym bardziej zbliża się równia pochyła drugiego ruchu, to jest CO, do prostopadłej, po której w końcu przebyta zostaje w czasie równym AC droga równa potrojonemu AC. Bo im więcej IR zbliża się do potrojonego AC, tym bliższe będzie IM zrównania się z MN. A ponieważ jak IM do MN na rysunku, tak będzie AC do CE, to CE będzie mało co większym od AC i co zatem będzie punkt E bardzo bliski punktu A, a CO i CS przecinać się będą pod bardzo ostrym kątem, zlewając się ze sobą. Ale znów jeżeli IR będzie bardzo mało większa od podwojonego tegoż AC, to IM będzie króciutką linią, wskutek czego AC będzie bardzo małe w porównaniu z CE, które stanie się bardzo długie i zbliżać się będzie do równoległej do poziomu, poprowadzonej przez C. Wnosić stąd można, że jeżeli, jak na rysunku, w dalszym ciągu spadku po równi pochyłej AC następuje odbicie, kierujące ciało wzdłuż linii poziomej, jaką jest CT, to w ciągu czasu równego AC ciało przebiegnie drogę równą zdwojonemu AC. I tu więc, jak widzimy, stosuje się podobne rozumowanie. Wynika zaś stąd, że ponieważ tak się ma OE do OF, jak FE do EC, to FC jest miarą czasu spadku po CO. Ale jeżeli część pozioma TC jest równa zdwojonemu AC, to przepołówmy ją w V, a jej przedłużenie ku X będzie nieskończenie wielkie, gdyż jej przecięcie z AE wymaga, aby stosunek nieskończonego TX do nieskończonego VX nie był inny jak stosunek nieskończonego VX do nieskończonego XC.

Do tego samego wyniku dojść by można inną drogą, powtarzając rozumowanie użyte przy dowodzeniu pierwszego podania. Bo weźmy pod uwagę (rys. 81) trójkąt ABC, w którym linie równoległe do podstawy BC przedstawiają stopnie prędkości odpowiadające rosnącym czasom spadku; liniami tymi, ponieważ jest ich nieskończenie wiele, jak i punktów na linii AC i chwil w każdym czasie, wypełniona jest cała powierzchnia trójkąta. Jeżeli przyjmiemy, że ruch odbywać się będzie w ciągu tego samego czasu, co ruch poprzedni, ale już nie jako przyspieszony, tylko jako jednostajny, z największym stopniem prędkości nabytej, której to stopień przedstawia linia BC, to z tych stopni prędkości złoży się prostokąt ADBC, będący zdwojeniem trójkąta ABC. Droga przebyta tym ruchem jednostajnym będzie równa podwójnej drodze przebytej ze stopniami prędkości, jakie przedstawia trójkąt ABC. Ale na płaszczyźnie poziomej ruch jest jednostajny, bo nie ma tam żadnej przyczyny przyspieszenia lub opóźnienia; wynika stąd, że droga CD przebyta w czasie AC będzie dwa razy większa od drogi AC, bo ruch przyspieszony odbywa się, od wyjścia ze spoczynku, według równoległych trójkąta, a ruch jednostajny według równoległych prostokąta, które, w swej liczbie nieskończone, wynoszą dwa razy tyle, co nieskończone również równoległe trójkąta.

Zauważyć wypada nadto, że stopień prędkości, jakkolwiek się w ciele objawia, jest w nim niezniszczalnie zawarty, podczas gdy przyczyny zewnętrzne wytwarzają przyspieszenie lub opóźnienie, co tylko spostrzec można na płaszczyźnie poziomej: bo przy spadku po pochyłości dołącza się przyczyna przyspieszenia, a przy podnoszeniu się - opóźnienia. Wynika stąd również, że ruch po poziomie jest także wieczny, bo gdy pozostaje zawsze jednaki, nie osłabia się ani wzmacnia, nie zmniejsza się i nie powiększa. I dalej, ponieważ osiągany przy swobodnym spadku stopień prędkości, jest niezniszczalną i wieczną ciała spadającego własnością, to jasne jest, że gdy po spadku wzdłuż równi pochyłej następuje odbicie na inną równię podnoszącą się, to tam zjawia się przyczyna opóźnienia; gdyż na takiej równi to samo ciało swobodnie spada, bo następuje tam zmieszanie przeciwnych sobie skłonności, to jest stopnia prędkości osiągniętego przy poprzedniem spadaniu, który by sam przez się ciało do nieskończoności jednostajnie posuwał i naturalnej skłonności do ruchu z góry na dół, z tym samym stosunkiem przyspieszenia, według którego ciało zawsze się porusza. Wydaje się przeto zrozumiałe, jeżeli badamy zaznaczone przyczyny, że ciało, które spadało wzdłuż równi pochyłej i zostało odbite na równię podnoszącą się, zatrzymuje w sobie osiągnięty przy spadku stopień prędkości, jednocześnie wszakże poddaje się naturalnej skłonności do spadania, to jest ruchowi od wyjścia ze spoczynku przyspieszonemu, w stosunku zawsze przyjmowanym. Co, gdyby dla dobrego zrozumienia było nieco ciemne, jaśniej wyłożone zostanie na rysunku.

Przypuśćmy, że spadek się odbywa (rys. 83) po równi pochyłej AB, po czym, wzdłuż innej równi podnoszącej się BC, następuje ruch odbity, oraz że te równie są jednakowej długości i pod jednaowymi kątami nachylone do poziomu GH. Wiadomo, że ciało, wychodzące ze spoczynku w A i spadające po AB osiąga stopnie prędkości w miarę wzrostu czasu; stopień w B, największy z osiągniętych, będzie z natury niezmiennie pozostawał w ciele, jeżeli się nie zjawią nowe przyczyny przyspieszenia lub opóźnienia; przyspieszenia, jeżeli ciało dalej spada, opóźnienia - jeżeli po odbiciu podnosi się wzdłuż BC; na poziomej zaś GH ruch ciągnąłby się do nieskończoności ze stopniem prędkości osiągniętym przez spadek od A do B. A prędkość ta jest taka, że w ciągu czasu równego czesowi spadku wzdłuż AB, przebyta by została wzdłuż poziomej droga równa 2AB. Przypuśćmy teraz, że ciało porusza się z tym samym stopniem prędkości jednostajnie wzdłuż BC, w ten sposób, że w tym samym, co dopiero wymienionym czasie przebyta byłaby wzdłuż BC droga równa 2AB. W rzeczywistości jednak widzimy, że ciało, zaraz gdy się zacznie podnosić, poddane będzie tym samym wpływom, jak przy spadku wzdłuż AB, bo spadając po BC osiągnęłoby tę samą prędkość i przebyło tę samą drogę w tym samym czasie jak wzdłuż AB; oczywiście to zmieszanie (mixtio) ruchów, jednostajnego pod górę, a przyspieszonego na dół, doprowadzi ciało po równi BC do końca C, w którym osiągnięte zostaną równe stopnie prędkości. Jeżeli weźmiemy po obu stronach punkty D, E, równo oddalone od B, to czas spadku po DB jest równy czasowi odbicia wzdłuż BE, co tak możemy dowieść. Poprowadzimy DF, równoległą do BC; wiadomo, że po spadku wzdłuż AD następuje odbicie wzdłuż DF. Lecz jeżeli z D ciało biegłoby dalej poziomo wzdłuż DE, to prędkość w E byłaby taka sama jak w D i ciało podniosłoby się od E do C. Słusznie więc możemy twierdzić, że jeżeli w dalszym ciągu spadku po jakiejkolwiek równi pochyłej, następuje odbicie wzdłuż równi podnoszącej się, to ciało, wskutek nabytego impetu wzniesie się do tej samej wysokości, czyli wzniesienia nad poziomem. Gdy spada wzdłuż (rys. 82) AB, ciało podnosi się wzdłuż płaszczyzny odbicia BC aż do poziomej AC; nie tylko wtedy, gdy nachylenia równi są jednakowe, ale także gdy są nierówne, jak równia BD. Bo na równiach o różnym nachyleniu, lecz jednakowej wysokości nabywane są jednakowe stopnie prędkości. Jeżeli EB, BD są jednakowo nachylone, to spadek wzdłuż ED podnosi ciało wzdłuż BD aż do D, bo taki impuls nadaje mu impet prędkości w punkcie B; impet zaś w B jest jednakowy, czy ciało spada wzdłuż AB, czy wzdłuż EB; wiadomo, że ciało, po swym spadku po AB jednakowo popychane jest po BD, jak i po EB. Prawda, że czas podniesienia po BD jest dłuższy niż po BC, jak i czas spadku po EB dłuższy niż po AB: stosunek zaś tych czasów jest równy stosunkowi długości samych równi. Wypada nam jeszcze znaleźć stosunek dróg przebytych wzdłuż równi różnego nachylenia i różnej wysokości, a w równych czasach: a więc zbadać spadek między dwiema równoległymi poziomymi. Ten zaś odbywa się według następującego stosunku.

Twierdzenie XV. Podanie XXIV

Między dwiema poziomymi równoległymi dana jest prostopadła, przez której spód przechodzi równia pochyla. Po spadku wzdłuż prostopadłej, droga przebyta przy podnoszeniu się ciała po równi, w ciągu czasu równego czasowi spadku, jest większa od długości prostopadłej, a mniejsza od podwojonej tejże długości.

(...)

Twierdzenie XVI. Podanie XXV

Jeżeli w dalszym ciągu spadku po jakiejkolwiek równi pochyłej, następuje ruch po płaszczyźnie poziomej, to czas spadku po równi ma się do do czasu ruchu wzdłuż jakiejkolwiek linii poziomej, jak podwójna długość równi do przyjętej linii poziomej.

(...)

Zadanie X. Podanie XXVI

Dana jest prostopadła między dwiema poziomymi, a także długość większa od długości prostopadłej, a mniejsza od tejże podwojonej; przez spód prostopadłej przeprowadzić równię pochyłą taką, aby przy podnoszeniu się po niej w dalszym ciągu spadku po prostopadłej, ciało przebyto długość równą danej, w czasie równym czasowi spadku po prostopadłej.

(...)

Twierdzenie XVII. Podanie XXVII

Jeżeli ciało spada wzdłuż dwóch równi różnego nachylenia, a tej samej wysokości, to droga przebyta w dolnej części równi dłuższej, w tym samym czasie co cała równia krótsza, jest równa sumie dwóch dróg, z których jedna jest tej długości co równia krótsza, a druga tak się ma do krótszej, jak dłuższa do przewyżki dłuższej nad krótszą.

(...)

Twierdzenie XVIII. Podanie XXVIII

Pozioma AG (rys. 87) jest styczną do kąta. Z punktu styczności prowadzimy średnice AB i dwie cięciwy AE, EB. Oznaczyć stosunek czasu spadku po AB do czasu spadku wzdłuż AE i EB.

(...)

Zadanie XI. Podanie XXIX

Dana jest długość pozioma, na której końcu wystawiona została prostopadła, a na tej prostopadłej odcięta połowa danej długości poziomej; ciało, spadające z tej wysokości, a następnie zwrócone na poziomą, przebiegnie obie te drogi w krótszym czasie niż jakąkolwiek inną długość prostopadłej razem z daną długością poziomą.

(...)

Twierdzenie XIX. Podanie XXX

Jeżeli z pewnego punktu linii poziomej schodzi prostopadła do niej, a z innego punktu tejże poziomej poprowadzona zostanie do tej prostopadlej równia pochyła taka, że ciało w najkrótszym czasie z poziomej spada po tej równi na prostopadłą, to ta równia będzie odcinać na prostopadłej długość równą odległości między dwoma punktami wziętymi na poziomej.

(...)

Twierdzenie XX. Podanie XXXI

Jeżeli linia prosta leżąca nad poziomą jest jakkolwiek do niej nachylona, to równia pochyla przechodząca przez jakikolwiek punkt poziomej i ciągnąca się do linii nachylonej, po której spadek trwa najkrócej, dzielić będzie na dwie połowy kąt między prostopadłymi z danego punktu wyprowadzonymi, jedna do poziomej, a druga do równi pochyłej.

(...)

Lemat

Jeżeli dwa koła są styczne wewnętrznie, a koło wewnętrzne jest styczne do jakiejkolwiek linii prostej, przecinającej koło zewnętrzne, to trzy proste przeprowadzone od punktu styczności kół do trzech punktów linii stycznej, mianowicie do punktu jej styczności z kołem wewnętrznym i do punktów jej przecinania się z kołem zewnętrznym, tworzą między sobą kąty równe.

W punkcie A (rys. 93) stykają się dwa koła, których środki są B mniejszego, C większego: styczną do koła mniejszego jest jakakolwiek prosta FG w punkcie H, przecinająca koło większe w punktach F i G, a dochodzą do niej trzy linie AF, AH, AG, między którymi zawarte kąty FAH, GAH są równe. Przedłużmy AH do spotkania okręgu w I, poprowadźmy ze środków BH, CI, a przez te środki przeprowadźmy BC i przedłużmy do A i do O i N. A ponieważ kąty ICN, HBO są równe, bo każdy z nich jest dwa razy większy od IAN, to linie BH i Cl będą równoległe. Ze zaś BH idąca od środka do punktu styczności jest prostopadła do FG i do tejże jesi prostopadła CI i łuk FI równy łukowi IG, więc kąt FAI jest równy kątowi IAG, c.b.d.d.

Twierdzenie XXI. Podanie XXXII

Jeżeli na poziomie weźmiemy dwa punkty i przez jeden z nich poprowadzimy prostą jakkolwiek nachyloną w stronę drugiego, to połączywszy drugi punkt z punktem linii nachylonej, tak oddalonym od jej początku, jak oddalone są od siebie oba punkty na poziomie, mieć będziemy spadek wzdłuż tej linii łączącej trwający krócej aniżeli wzdłuż jakiejkolwiek innej linii, poprowadzonej z tego samego punktu do linii nachylonej. Wzdłuż innych linii o równe kąty od pierwszej odchylonych, czasy spadku będą sobie równe.

(...)

Zadanie XII. Podanie XXXIII

Dana jest prostopadła i równia pochyla, obie jednakowej wysokości i mające wspólny wierzchotek. Na prostopadłej, ponad tym wierzchołkiem znaleźć punkt, z którego by ciało spadało wzdłuż prostopadłej, a dalej wzdłuż równi, tak samo długo, jak wzdłuż prostopadlej spuszczonej z jej wierzchołka.

(...)

Zadanie XIII. Podanie XXXIV

Niech będą prostopadła i równia pochyłla, mające wspólny wierzchołek. Szukany jest punkt położony wyżej na prostopadłej, z którego by ciało spadające i biegnące dalej wzdłuż równi pochyłej, wykonywało te ruchy w tym samym czasie, co i spadek po samej równi z jej wierzchołka.

(...)

Zadanie XIV. Podanie XXXV

Dane są prostopadła i od jej spodu równia pochyła; oznaczyć na tej ostatniej punkt, do którego przebyta będzie wzdłuż samej równi droga w tym samym czasie co i droga wzdłuż prostopadłej i równi.

(...)

Twierdzenie XXII. Podanie XXXVI

Jeżeli z najniższego punktu koła, stojącego na poziomie, poprowadzimy równię pochylą podpierającą mniej niż ćwierć koła i jeżeli z końców tej równi poprowadzimy dwie równie do jakiegokolwiek punktu łuku podpartego, to spadek wzdłuż tych dwóch równi trwać będzie krócej aniżeli wzdłuż równi pierwszej, a także krócej niż wzdłuż samej niższej z dwóch równi.

(...)

Scholium

Z poprzedniego wywnioskować można, że najszybszy ruch od jednego punktu do drugiego odbywa się nie wzdłuż najkrótszej linii tj. prostej, ale po łuku koła. Bo, dzieląc ćwierć koła (rys. 103) BAEC, której bok BC jest prostopadły do poziomu, to jest łuk AC, na dowolną liczbę części równych AD, DE, EF, FG, GC, prowadząc z C linie proste do punktów A, D, E, F, G, i łącząc je liniami AD, DE, EF, VG, GC, widzimy, że ruch wzdłuż ADC jest prędszy niż wzdłuż AC albo wzdłuż DC po wyjściu ze spoczynku w D, ale z A będzie DC przebyte prędzej niż obie drogi ADC, podobnie po dwóch DEC po wyjściu ze spoczynku w A spadek odbywa się prędzej niż po samym DC. Spadek więc po trzech ADEC będzie szybszy niż po dwóch ADC. Podobnie spadek w dalszym ciągu ADE będzie szybszy wzdłuż dwóch EFC niż wzdłuż samego EC. Więc wzdłuż czterech ADEFC szybszy niż wzdłuż trzech ADEC. A że wzdłuż dwóch FGC, w dalszym ciągu spadku wzdłuż ADEF, spadek będzie szybszy niż wzdłuż FC, więc wzdłuż pięciu ADEFGC szybszy niż wzdłuż czterech ADEFC. Im więcej przeto wielobok wpisany zbliża się do obwodu koła, tym szybciej odbywa się ruch między A i C.

Co zaś dowiedziono dla ćwiercianu, to odnosi się także w kole i do mniejszych łuków i taki jest wywód.

[Ten "dowód" Galileusza jest błędny - ale nie miał on narzędzi niezbędnych do rozwiązania tego problemu. Rozwiązanie podał wiek później J. Bernoulli].

Zadanie XV. Podanie XXXVII

Mając daną prostopadłą i równię pochyłą tej samej wysokości, oznaczyć położenie odcinka równi tej samej długości co i prostopadła, po którym by ruch odbywał się w tym samym czasie, co i wzdłuż prostopadłej.

(...)

Wniosek

Wynika stąd, że szukany odcinek leży na równi między częściami górną i dolną, które są przebywane w czasach równych.

Zadanie XVI. Podanie XXXVIII

Dane są dwie płaszczyzny poziome przecięte przez prostopadłą; znaleźć na tej ostatniej punkt taki, z którego by ciało spadające najpierw prostopadle, a następnie poruszające się po danych płaszczyznach, przebywało wzdłuż tych ostatnich, w czasach równych czasowi spadku po prostopadłej, drogi pozostające jedna do drugiej w danym stosunku.

Niech będą (rys. 105) płaszczyzny poziome CD, BE, przecięte prostopadłą ACB i dany stosunek drogi krótszej do dłuższej N do FG. Na prostopadłej w górze ma być oznaczony punkt, z którego by spadające ciało, zwrócone na CD, przebywało w czasie równym czasowi spadku drogę, tak się mającą do drogi przebywanej przez inne ciało spadające z tegoż samego punktu i zwrócone na płaszczyznę BE w czasie równym swemu czasowi spadku, jak N do FG. Połóżmy GH równe N i jak FH do MG tak niech się ma BC do CL. Twierdzę, że L będzie szukanym punktem w górze prostopadłej. Odetnijmy CM=2CL, poprowadźmy LM, przecinającą płaszczyznę EB w O, to będzie także BO=2BL. A ponieważ jak FH do HG, tak się ma BC do CL, to także jak HG czyli N do GF będzie CL do LB albo CM do BO. Że zaś CM=2CL, to CM będzie drogą, którą ciało, wyszedłszy z L, po spadku wzdłuż LC, przebiegnie na płaszczyźnie CD; i dla tej samej przyczyny BO będzie drogą, przebytą po spadku wzdłuż LB, w czasie równym czasowi spadku po LB; że zaś BO jest równe 2BL, więc zadanie jest rozwiązane.

SAGREDO: Istotnie zdaje mi się, że przyznać trzeba naszemu akademikowi, że on bez przechwałki przypisywać sobie może zasługę utworzenia nowej nauki o bardzo starym przedmiocie. A widząc, jak on szczęśliwie i zręcznie z jednej prostej zasady wywodzi dowodzenia tylu twierdzeń, muszę niemniej podziwiać, że rzeczy te pozostawiały nietkniętymi przez Archimedesa, Apolloniusza, Euklidesa i tylu innych matematyków i filozofów znakomitych, a zwłaszcza, że o tym ruchu znajduje się napisanych wiele grubych tomów.

SALVIATI: O ruchu znaleźć trochę można w odnośnym fragmencie Euklidesa, lecz nie można odkryć śladu, jaką szedł drogą, aby odkryć stosunek przyspieszenia i jego zmiany przy różnych nachyleniach. Twierdzić też można, że teraz dopiero otwarty został dostęp do nowej metody, umożliwiającej nieskończenie mnóstwo ważnych badań, które w przyszłości inne umysły będą mogły przeprowadzać.

SAGREDO: Sądzę istotnie, że równie jak pewne własności koła, które jako przykłady dowiedzione są w trzeciej księdze Euklidesa, stanowią wstęp do niezliczonej liczby innych, więcej ukrytych, tak samo te, w krótkiej rozprawie wywiedzione twierdzenia, skoro się znajdą w ręku innych myślących badaczy, torować będą drogę do coraz to nowych pomysłów i prawdopodobnie z czasem takie gruntowne badanie przedmiotu rozciągnie się na wszystkie inne zakresy przyrody.

Dzień dzisiejszy był długi i dość pracowity, lecz więcej mnie zadowoliły same podania aniżeli ich dowodzenia i sądzę, że aby je dobrze zrozumieć, poświęcić trzeba każdemu więcej niż godzinę: odkładając tę pracę do czasu spokojnego, poproszę Waszmość o pozostawienie mi książki, po rozpatrzeniu pozostałej jej części odnoszącej się do ruchu pocisków; co, jeżeli pozwolicie, będzie mieć miejsce w dniu następnym.

SALVIATI: Nie omieszkam spotkać się z Waszmościami.

Koniec dnia trzeciego.

DZIEŃ CZWARTY

 

SALVIATI: Otóż i p. Simplicio przychodzi w porę, abyśmy bez odkładania mogli przejść do ruchu, a taki jest tekst naszego autora.

O RUCHU POCISKÓW

Rozważaliśmy dotąd ruch jednostajny, oraz naturalnie przyspieszony wzdłuż równi pochyłych. W dalszym ciągu zajmę się niektórymi zjawiskami i wskazówkami naukowymi ściśle dowiedzionymi, dotyczącymi ciał w ruchu złożonym z jednostajnego i naturalnie przyspieszonego; tego rodzaju bowiem jest ruch pocisków i w ten sposób powstaje.

Jeżeli ciało bez żadnej przeszkody porusza się na płaszczyźnie poziomej, to ze wszystkiego, co poprzednio obszernie zostało wyłożone, wynika, że ten ruch jest jednostajny i nieustannie trwający, przy rozciąganiu się płaszczyzny do nieskończoności; gdy zaś płaszczyzna jest ograniczona, a poruszające się na niej ciało ciężkie, to ono, doszedłszy do brzegu płaszczyzny, poruszać się będzie dalej, a do pierwotnego, jednostajnego, nieginącego ruchu dochodzi ruch wywołany przez ciężkość i wytwarza się ruch złożony, który nazywam pociskowym i który się składa z jednostajnego poziomego i z jednostajnie przyspieszonego. Wywiedziemy tu niektóre właściwości tego ruchu, z których pierwsza jest następująca.

Twierdzenie I. Podanie I

Pocisk w swym ruchu złożonym z jednostajnego poziomego i naturalnie przyspieszonego z góry na dół, opisuje połowę paraboli.

SAGREDO: Musimy tu, panie Salviati, tak dla mnie jak i dla p. Simplicia, nieco się zatrzymać, gdyż nie jestem tak daleko posunięty w geometrii, abym studiował Apollonosa, który, o ile wiem, pisał o tych parabolach i innych przecięciach stożkowych, nie sądzę zaś, abyśmy mogli bez tych wiadomości rozumieć dowodzenia podań, jakie mają nastąpić. A ponieważ, zaraz w pierwszym twierdzeniu, autor ma nam dowieść, że linia, jaką opisuje pocisk, jest parabolą, to zdaje mi się, że najpierw zająć się trzeba tą krzywą, gruntownie ją poznać i choćby nie wszystkie wywiedzione przez Apollonosa jej własności, to przynajmniej te z nich przypomnieć, na których opierać się będą dalsze rozważania.

SALVIATI: Waszmość zbyt się poniża, żądając podania na nowo wiadomości, które niedawno przyjmowaliście jako dobrze znane: wtedy, powiadam, gdy przy rozważaniu wytrzymałości posługiwaliśmy się już pewnem podaniem Apolloniosa, co nie robiło nam żadnej trudności.

SAGREDO: Być może znałem je przypadkowo, lub przyjmowałem jako znane, dopókąd było potrzebne podczas rozważania; tu wszakże, gdy mamy się zapoznać z wieloma twierdzeniami, dotyczącymi tych linii, nie możemy żałować czasu i trudu.

SIMPLICIO: Co się mnie tyczy, to chociaż, jak sądzę, p. Sagredo będzie dobrze zaopatrzony, mnie zatrzymują dawne przeszkody, bo jakkolwiek nasi filozofowie traktowali już o ruchu pocisków, to jednak nie przypominam sobie, aby określali linie w tym ruchu opisywane inaczej, jak ogólnie jako linie krzywe, z wyjątkiem tylko spadku po prostopadłej. Toteż jeżeli ta szczypta geometrii, której tu i owdzie w ciągu naszych rozmów nauczyłem się z Euklidesa, nie wystarczy do zrozumienia dalszych dowodzeń, zmuszony będę przyjmować twierdzenia na wiarę, nie sięgając do ich głębi.

SALVIATI: Pragnę też zbudzić w Was wdzięczność dla naszego autora, który mi pozwolił rzucić okiem na swoją pracę, a ponieważ nie miałem wtedy pod ręką ksiąg Apolloniosa, wyjaśnił mi dwie główne własności paraboli, bez żadnych wstępnych studiów i na tych własnościach oprzemy się w naszem rozważaniu; dowiedzione zostały te własności przez Apolloniosa, ale między wieloma innymi, których poznawanie zabrałoby nam zbyt wiele czasu; ja zaś pragnąłbym skrócić tę drogę, wyciągając pierwszą własność po prostu z samego powstawania paraboli i wiążąc z nią bezpośrednio dowodzenie drugiej własności. Przejdziemy więc najpierw do pierwszej własności.

Wyobraźmy sobie (rys. 106) stożek prosty z podstawą kołową IBKC i wierzchołkiem w punkcie L, który przecięty płaszczyzną równoległą do boku LK daje przecięcie BAC zwane parabolą; jej podstawa BC przecina pod kątem prostym średnicę IK koła IBKC i niech będzie oś paraboli AD równoległa do boku LK; weźmy jakikolwiek punkt F na linii BFA i poprowadźmy prostą FE, równoległą do BD. Twierdzę, że kwadrat z BD ma się do kwadratu z FE, jak oś DA do odcinka AE. Wyobraźmy sobie przez punkt E przeprowadzoną płaszczyznę, równoległą do koła IBKC, to ta przetnie stożek według koła o średnicy GEH. A ponieważ BD jest prostopadła do IK, średnicy koła IBK, to kwadrat z BD jest równy prostokątowi o bokach ID, DK. Tak samo będzie na kole górnym, przechodzącym przez punkty G, F, H, kwadrat z linii FE równy prostokątowi o bokach GE, EH. Więc kwadraty z BD i FE mają się do siebie jak prostokąt IDK do prostokąta GEH. A ponieważ linia ED jest równoległa do HK, to będzie EH równe DK, gdyż są równoległe; a że prostokąt IDK ma się do prostokąta GEH jak ID do GE, czyli jak DA do AE; więc prostokąt IDK ma się do prostokąta GEH, jak kwadrat z BD do kwadratu z FE, albo jak oś DA do odcinka AE, c.b.d.d.

Drugie podanie, potrzebne w naszem rozważaniu, jest następujące. Nakreślmy parabolę (rys. 107) i przedłużmy jej oś CA na zewnątrz do D, poprowadźmy przez jakikolwiek jej punkt B linię BC równoległą do podstawy paraboli i odetnijmy DA równe osi CA. Twierdzę, że linia prosta, poprowadzona przez punkty D, B, nie będzie przecinała paraboli, lecz tylko dotykać się jej będzie w tym samym punkcie B. Albowiem, jeżeli to jest możliwe, to ona przetnie parabolę wyżej, a jej przedłużenie niżej. Weźmy więc na niej jakikolwiek punkt G i poprowadźmy prostą FGE. Ponieważ kwadrat z FE jest większy od kwadratu z GE, to stosunek kwadratu FE do kwadratu z BC będzie większy od stosunku kwadratu GE do tegoż kwadratu z BC. A ponieważ, według twierdzenia poprzedniego, kwadrat z FE ma się do kwadratu z BC, jak EA do AC, to stosunek EA do AC będzie większy od stosunku kwadratu z GE do kwadratu z BC albo kwadratu z ED do kwadratu DC (bo w trójkącie DGE tak się ma GE do równoległej BC, jak ED do DC). Ale linia EA tak się ma do AC albo do AD, jak cztery prostokąty EAD do czterech kwadratów z AD, czyli do kwadratu z CD (który jest równy czterem kwadratom z AD); mamy więc, że stosunek czterech prostokątów EAD do kwadratu z CD jest większy od stosunku kwadratu z ED do kwadratu z DC; byłyby więc cztery prostokąty EAD większe od kwadratu ED, co jest nieprawdziwe, gdyż one są mniejsze; a to dlatego, że części EA i AD linii ED nie są równe. Więc linia DB dotyka paraboli w B, ale jej nie przecina, c.b.d.d.

SIMPLICIO: Wywody swe prowadzacie zbyt okazale; i przyjmujecie zawsze, o ile mi się zdaje, że wszystkie podania Euklidesa są mi równie dobrze znane, jak jego pierwsze aksjomaty, a tak nie jest. I tak dopiero co usłyszałem, że cztery prostokąty EAD są mniejsze od kwadratu z DE, dlatego, że części EA, AD linii ED nie są równe, co mnie nie zaspokaja i o czym powątpiewam.

SALVIATI: Istotnie wszyscy poważniejsi matematycy przyjmują, że czytelnikowi co najmniej Elementy Euklidesa dobrze są znane; panu zaś wystarczy przypomnieć, że jeżeli linia podzielona zostanie raz na części równe, a drugi raz na nierówne, to prostokąt z części nierównych jest mniejszy od prostokąta z części równych (czyli kwadratu z połowy) o kwadrat z odległości między punktami podziału. Wynika stąd, że kwadrat z całości, obejmujący cztery kwadraty z połowy, jest większy od czterech prostokątów z części nierównych. Dowiedzione dwa twierdzenia z Elementów przecięć stożkowych należy mieć w pamięci, dla zrozumienia dalszego ciągu niniejszej rozprawy, bo na nich tylko opiera się autor. Teraz więc wrócić możemy do tekstu, aby zobaczyć, w jaki sposób dowiedzione tam jest pierwsze twierdzenie, wykazujące, że linia opisana przez pocisk w ruchu złożonym z jednostajnego poziomego i naturalnego, spadającego jest połową paraboli.

Wyobraźmy sobie (rys. 108) linię albo płaszczyznę poziomą AB, wysoko umieszczoną, po której ciało od A do B jednostajnie się porusza; po usunięciu zagrody w B, ciało, skutkiem swej ciężkości poddane zostaje naturalnemu spadkowi wzdłuż pionowej BN. Przedłużmy AB w linii prostej do E i odcinajmy na BE równe części upływającego czasu BC, CD, DE, a z punktów C, D, E, poprowadźmy równoległe do poziomej BN: na pierwszej z nich odetnijmy jakąkolwiek długość CI, na następnej cztery razy większą DF, potem dziewięć razy większą EH i tak dalej w stosunku do kwadratów z CB, DB, EB, czyli w podwójnym stosunku tych długości. Bo jeżeli przyjmujemy, że do ruchu jednostajnego od B do C, dochodzi spadek pionowy na długości Cl, to ciało po upływie czasu BC znajdzie się w punkcie I. Dalej w ciągu czasu DB, czyli zdwojonego BC, będzie droga przebyta w spadku równa czterokrotnemu CI: bo w pierwszym traktacie dowiedziono, że przy ruchu jednostajnie przyspieszonym drogi przebyte mają się do siebie jak kwadraty z czasów. Podobnież będzie droga EH, przebyta w spadku, w ciągu czasu BE, równa dziewięciokrotnemu CI, bo Eli, DF, CI mają się do siebie, jak kwadraty z linij EB, DB, CB. Jeżeli przez punkty I, F, H, poprowadzimy proste I0, FG, HL, równoległe do EB, to będą linie HL, FG, I0 równe liniom EB, DB, CB; równie jak BO, BG, BL są równe CI, DF, EH. Więc kwadrat z HL ma się do kwadratu FG jak linia LB do BG; a kwadrat z FG do kwadratu z I0 jak GB do BO. Punkty więc I, F, H, leżą na jednej i tej samej linii parabolicznej. Podobnież biorąc inne jakiekolwiek wielkości, odpowiadające równym częściom czasu, można by dowieść, że punkty, do których dochodzi w tych czasach pocisk, leżą na jednej i tej samej linii parabolicznej, c.b.d.d.

SALVIATI: Wniosek ten otrzymany został przez odwrócenie poprzednio dowiedzionego twierdzenia, gdyż jeżeli przez punkty B, H, przeprowadzimy parabolę, a punkty F, I nie będą leżały na tej krzywej, lecz na zewnątrz lub na wewnątrz; to FG będzie mniejsze lub większe od linii dochodzącej do paraboli i kwadraty z HL i FG mieć będą do siebie większy lub mniejszy stosunek od linii LB i BG, tymczasem kwadrat z HL ma zawsze ten właśnie stosunek do kwadratu z FG; więc punkt F leży na paraboli i tak samo wszystkie inne pukty.

SAGREDO: Nie mogę zaprzeczyć, że rozważanie to jest nowe, pomysłowe i konkludujące; opiera się ono na tym mianowicie założeniu, że ruch poprzeczny utrzymuje się zawsze jednostajny, że ruch naturalnie przyspieszony jest proporcjonalny do kwadratów z czasu i że te ruchy i ich prędkości mieszają się ale sobie nie przeszkadzają, nie zmieniają się i nie opóźniają, tak że linia rzutu, przy dalszym ruchu, nie zmienia swej natury; to zaś nie wydaje mi się możliwe. Bo ponieważ oś naszej paraboli, wzdłuż której zakładamy, że się odbywa ruch naturalny ciężarów, jest prostopadłą do poziomu, więc dochodzi do środka ziemi, parabola zaś oddala się wciąż od swej osi, więc pocisk nie doszedłby nigdy do środka ziemi, a gdyby zaś doszedł, co wydaje się konieczne, to musiałaby linia rzutu przerodzić się na inną, różną od parabolicznej.

[Tu Galileusz powtórzył błąd, jaki wcześniej pojawił się w I dniu Dialogu.]

SIMPLICIO: Do tej trudności dołączyć muszę inne jeszcze: jedna z nich polega na tym naszym przypuszczeniu, że płaszczyzna pozioma, która ani się nie podnosi ani nie obniża, jest linią prostą, tak jakby jej części były wszędzie jednakowo oddalone od środka ziemi, co przecież nie jest prawdą; bo postępując od środka płaszczyzny do jej końców, coraz więcej oddalamy się od środka ziemi, a więc płaszczyzna wciąż się podnosi; wynika stąd, że na takiej płaszczyźnie ruch nie może trwać wiecznie i nie może na żadnej jej części utrzymywać się jednostajnym, ale wciąż się zwalnia. Nadto uważam za niemożliwe, aby można było unikać oporu ośrodka i aby się zachowywała stałość ruchu poprzecznego, jak i praca przyspieszenia ciał spadających. Przy tych wszystkich trudnościach wydaje się bardzo nieprawdopodobne, aby to, co było dowiedzione, wychodząc z tak niepewnych założeń, mogło być sprawdzone doświadczeniami.

SALVIATI: Wszystkie postawione trudności i żądania tak są uzasadnione, że pominięcie ich uważam za niemożliwe; toteż przyjmuję je wszystkie i sądzę, że i nasz autor to samo by uczynił. Godzę się nawet na to, że nasz abstrakcyjnie wyciągnięty wniosek zmieni się w rzeczywistość i okaże się do tego stopnia mylny, że ani ruch poprzeczny nie jest jednostajny, ani przyspieszenie ruchu naturalnego nie ma przyjmowanej proporcji, ani linia rzutu nie jest parabolą i.t.d. Lecz w zamian za to proszę, abyście nie kwestionowali naszemu autorowi tego, co przyjmowali inni najznakomitsi mężowie, jakkolwiek to było fałszywe. A sama już powaga Archimedesa może każdego uspokoić; przyjął on w swej mechanice, przy pierwszej kwadraturze paraboli, jako pewnik, że drąg wagi jest linią prostą, której wszystkie punkty są jednakowo oddalone od wspólnego środka ciał ważkich, a sznury, na których zawieszone są ciężary, są do siebie równoległe. Tę licencję przyzna nam każdy, bo nasze narzędzia i odległości, z jakimi mamy do czynienia, są tak małe w porównaniu z naszem wielkiem oddaleniem od środka ziemi, że możemy przyjmować bardzo małą cząstkę łuku wielkiego koła za linię prostą, a dwie prostopadłe z jej końców spuszczone za równoległe do siebie. Gdybyśmy chcieli uwzględniać przy doświadczeniach takie małe wielkości, musielibyśmy zacząć od poprawiania architektów, którzy ze swym pionem przyjmują najwyższe wieże wzniesione między liniami równolegtemi. Dodam, że moglibyśmy również powiedzieć, iż Archimedes i inni przyjmowali w swych rozważaniach, że są nieskończenie oddaleni od środka ziemi, a w tym przypadku ich podania nie byłyby błędne; i dlatego wnioskowali z absolutną ścisłością. Jeżeli więc chcemy stosować w skończonej odległości dowiedzione wnioski do odległości nieskończenie wielkich, musimy od prawdziwie dowiedzionego odciągnąć to, co z powodu nie nieskończonej odległości jest do uwzględnienia; chociaż zawsze odległość jest jeszcze bardzo wielka w porównaniu z małością naszych urządzeń, z których największym jest nośność pocisków przy wystrzałach, zwłaszcza armatnich; jakkolwiek ta ostatnia jest wielką, nie przenosi jednak czterech mil, podczas gdy odlegli jesteśmy od środka ziemi na tyleż tysięcy mil; a jeżeli tę nośność odmierzymy na powierzchni ziemi, to linia paraboliczna nieznacznie tylko się zmieni, w rzeczywistości zaś tak się skieruje, że przejdzie przez środek ziemi. Następnie, co do przeszkód, pochodzących z oporu ośrodka, to te są znaczniejsze a z powodu swej wielkiej różnorodności niemożliwe do zawarcia w pewnych prawidłach ścisłych; bo, dopókąd bierzemy tylko pod uwagę opór powietrza, to ten przeszkadza wszystkim ruchom w sposób nieskończenie rozmaity, stosownie do nieskończenie różnych zmian kształtów, ciężarów i prędkości ciał. Co do prędkości, to im ona jest większa, tym większy będzie także opór powietrza, które tym więcej przeszkadza, im ciało jest lżejsze; tak że jakkolwiek ciężar powinien by spadać z przyspieszeniem proporcjonalnym do kwadratów z czasów, to jednak tylko bardzo ciężkie ciała, spadające ze znacznej wysokości doznają od powietrza takiego oporu, że ten może pokonać w zupełności przyspieszenie i uczynić ruch jednostajnym; co następuje tym prędzej i na tym mniejszej wysokości, im ciało jest lżejsze. Również i ruch poziomy, który po usunięciu wszystkich przeszkód, winien by być jednostajny i wiecznie trwający, będzie skutkiem oporu powietrza hamowany i w końcu zatrzymany, a to tym prędzej, im ciało będzie lżejsze. Dla tych wszystkich nieskończenie różnych przypadków, ciężkości, prędkości i kształtu nic można podać żadnej ścisłej teorii. Trzeba je więc abstrahować, aby móc naukowo traktować ten przedmiot, a wnioskami znalezionymi i dowiedzionymi bez brania pod uwagę przeszkód, posługiwać się w tych granicach, jakie wskaże doświadczenie. A nie mały stąd będzie pożytek, bo tworzywo i kształt tak zostaną dobrane, aby opór ośrodka był możliwie mały, mianowicie wybrane będą ciała najcięższe i okrągłe: przy tym drogi i prędkości nie będą zbyt wielkie, abyśmy nie mogli dokładnie ich zmierzyć. Przeciwnie, pociski, których używaliśmy, były z materii ciężkiej i okrągłego kształtu, a jeżeli z materii lżejszej, to miały kształt walców, jak strzały rzucone z procy lub łuku, a jednak odchylenia ich dróg od linii parabolicznej były nieznaczne. Nawet (i tu wziąć pragnę nieco więcej swobody) małość tych odchyleń była taka, że zewnętrzne działania poboczne, między którymi najważniejszy jest opór ośrodka, nie mogły być zauważone przy naszych doświadczeniach, co mogę uwidocznić na dwóch następujących. Wezmę pod uwagę ruchy w powietrzu, gdyż takie były przeważnie te, o których mówiliśmy, przy tych ruchach zaś powietrze w dwojaki sposób wywiera działanie. Najpierw więcej opóźnia ruch ciał lekkich aniżeli ciężkich. Następnie przy ruchu jednego i tegoż samego ciała większy stawia opór przy większej prędkości, aniżeli przy mniejszej. Co do pierwszego, doświadczenie wykazało, że dwie równie wielkie kule, z których jedna jest 10 do 12 razy cięższa od drugiej, spadając z wysokości 150 do 200 łokci, dochodzą do ziemi z bardzo małą różnicą prędkości, co nas upewnia, że obie doznają bardzo małego oporu powietrza; bo gdyby kula ołowiana, zaczynająca spadać w tym samym momencie co i drewniana, mniej była od niej opóźniana, to musiałaby przy tak znacznej wysokości dochodzić do ziemi wyprzedzając drewnianą, gdyż jest 10 razy cięższą; to jednak się nie zdarza, bo wyprzedzanie nie wynosi ani setnej części całej wysokości. Pomiędzy zaś kulą ołowianą a kamienną, ważącą zaledwie trzecią część lub połowę pierwszej, różnica w dojściu do ziemi zaledwie mogła być zauważoną. A ponieważ impet, nabyty przez kulę ołowianą przy spadku z wysokości 200 łokci, (który jest taki, że pozwoliłby jej przebiec w dalszym ciągu spadku, w tym samym czasie ruchem jednostajnym, 400 łokci) jest dość znaczny w porównaniu z prędkościami, które łukiem lub innymi maszynami nadawać możemy naszym pociskom (z wyjątkiem impetu, jaki daje broń palna), to zapewne niewiele zbłądzimy, jeżeli twierdzenie dowiedzione bez uwzględniania oporu ośrodka, poczytamy za absolutnie prawdziwe. Co do drugiego z wymienionych punktów, to opór, jakiego jedno i toż samo ciało doznaje od powietrza, gdy się porusza z wielką prędkością, nie jest znacznie większy od oporu jakiego doznaje przy wolniejszym ruchu, co może być stwierdzone następującym doświadczeniem. Na dwóch jednakowo długich nitkach, 4-o lub 5-cio łokciowych zawieszamy dwie kulki ołowiane i wyprowadzamy obie z położenia pionowego, podnosząc jedną na 80 lub więcej stopni a drugą na 4 lub 5; puszczone swobodnie, opisują, spadając i przekraczając pionową, jedna wielkie łuki 160, 150, 140 stopni, powoli się zmniejszające, a druga łuki małe 10, 8, 6 itd., zmniejszające się jeszcze wolniej. Twierdzę więc najpierw, że łuki 180, 160 itd. opisywane będą w tych samych czasach, co i małe 10, 8, itd. A ponieważ oczywiście prędkość pierwszej kulki jest 16 i 18 razy większa niż drugiej, a przy większej prędkości większy być musi opór powietrza niż przy mniejszej, to wahań winnoby być mniej przy wielkich łukach 180, 160 stopni itd. niż przy małych 10, 8, 4 albo 2 i 1; ale temu przeczy doświadczenie; bo gdy dwaj towarzysze wzięli się do liczenia wahań, jeden wielkich a drugi małych, to przekonali się, licząc nie tylko dziesiątki ale i setki, że nie różnili się ani o jedno wahnięcie. Doświadczenie to stwierdza jednocześnie oba twierdzenia, a mianowicie, że wielkie i małe wahania odbywają się wszystkie w czasach równych i że opór powietrza nie działa więcej opóźniająco przy ruchach prędkich niż przy powolnych, wbrew temu, co się nam przedtem wydawało i co mylnie przyjmowaliśmy.

[Ta "relacja" z przebiegu eksperymentów jest całkowicie błędna.
Czy Galileusz kiedykolwiek takie eksperymenty przeprowadzał?]

SAGREDO: Ale ponieważ nie można przeczyć, że powietrze stawia opór i jednej i drugiej kulce, bo przecież obie zwalniają ruch i w końcu się zatrzymują, należy więc powiedzieć, że opóźnienia następują przy obu kulkach w tym samym stosunku. Ale w jakim? Jeżeli w jednym przypadku opór jest większy niż w drugim, od czegóż to może zależeć, jak nie od tego, że raz był wywołany większą prędkością, a drugi raz mniejszą? I ponieważ tak się rzecz ma, to właśnie ta ilość prędkości jest przyczyną, a zarazem miarą oporu. Będą więc wszystkie ruchy, małe i wielkie, opóźniane i hamowane w tym samym stosunku; uwaga ta nie wydaje mi się zbyteczna.

SALVIATI: Można by także i w tym drugim przypadku wnioskować, że odchylenia od wniosków, dowiedzionych niezależnie od okoliczności zewnętrznych mają tylko małe znaczenie, odnośnie do ruchów z wielką prędkością, którymi najwięcej przyjdzie się tu zajmować, a także odnośnie do odległości, które są bardzo małe w porównaniu z wielkością promienia i kół wielkich globu ziemskiego.

SIMPLICIO: Pragnąłbym bardzo poznać przyczynę wyłączenia przez Waszmość pocisków broni palnej, tj., jak sądzę, wyrzucanych siłą prochu; przypuszczam, że pociski tej broni podlegają innym zmianom i zahamowaniom, przy oporze powietrza, niż pociski proc, łuków i kuli ręcznych.

SALVIATI: Skłania mnie do tego nadzwyczajna, nawet nadnaturalna gwałtowność tej broni, tak, że bez przesady mogę powiedzieć, że prędkość, z jaką kula wychodzi z muszkietu lub z armaty, nazwać można nadprzyrodzoną. Bo jeżeli kula taka spada naturalnie choćby z najznaczniejszej wysokości, to prędkość jej wskutek oporu powietrza nie będzie się stale powiększać; lecz następuje to, co się zdarza przy spadaniu lekkich ciał już przy umiarkowanej wysokości, mianowicie, że ruch staje się jednostajny, a dla kuli żelaznej lub ołowianej po spadku z kilku tysięcy łokci; taką zaś najwyższą prędkość końcową osiągnąć może w sposób naturalny ciężar spadający w powietrzu; a prędkość tę poczytuję za mniejszą od tej, jaką tej samej kuli udziela proch. Można to wykazać przez stosowne doświadczenie. Wystrzelmy z rusznicy, z wysokości 100 albo więcej łokci, kulę ołowianą, prostopadle na dół do bruku kamiennego i z tej samej rusznicy wystrzelmy do tegoż bruku z wysokości jednego lub dwóch łokci, zobaczmy następnie którym wystrzałem bruk będzie więcej rozbity: jeżeli bowiem kula dochodząca z wysokości słabiej działa aniżeli druga, to z pewnością powietrze ją hamowało i zmniejszało jej prędkość, nadaną pierwotnie przez ogień; osiągnięciu podobnej prędkości przeszkadza powietrze i kula nie nabędzie jej nigdy, z jakkolwiek wielkiej wysokości by spadała; a jeżeli prędkość udzielana przez ogień nie przewyższa tej, jaka może być nabyta przy naturalnym spadku, to szybsze uderzenie na spodzie winno by być silniejsze od mniej szybkiego. Nie wykonałem tego doświadczenia, lecz skłonny jestem utrzymywać, że kula rusznicowa lub armatnia, spadająca z jeszcze większej wysokości, nie zrobi takiego uderzenia jak to, które następuje z odległości paru łokci od muru, tj. tak nieznacznej, że krótkotrwałe rozrywanie i przecinanie powietrza nie wystarcza dla zniesienia nadnaturalnej gwałtowności, jaką wytwarza ogień. Ten nadmierny impet silnego wystrzału, może powodować pewne odkształcenia krążnej pocisku, czyniąc początek paraboli mniej nachylonym, a koniec więcej zakrzywionym. Wszakże to wszystko nie może stanowić ani małego ani żadnego zarzutu co do poszukiwań praktycznych naszego autora, spośród których najważniejsze jest ułożenie tablicy strzałów tak zwanych dalekonośnych (di volata), zawierającej odległości spadania kul wystrzelonych przy różnych podniesieniach. A ponieważ te strzały wykonywano z moździerzy, przy niewielkich nabojach; nie było więc w nich nadnaturalnego impetu, tak, że krążne pocisków odznaczały się dokładnie.

Ale tymczasem, wróćmy do traktatu, a autor zechce nas doprowadzić do rozpatrywania i badania impetu pocisku, poruszającego się ruchem złożonym z dwóch jednostajnych, jednego poziomego a drugiego skierowanego pionowo.

Twierdzenie II. Podanie II

Jeżeli jakie ciało porusza się jednostajnie w dwóch kierunkach, i to w jednym poziomym a drugim pionowym, to ruch z tych dwóch złożony będzie potencjalnie równy (erit potentia aequalis) momentom obu ruchów.

Ciało porusza się jednostajnie w dwóch kierunkach, pionowemu odpowiada (rys. 109) droga AB; poziomemu zaś w tym samym czasie droga BC. Ponieważ drogi AB, BC, przebywane są w tym samym czasie ruchem jednostajnym, to momenty tych ruchów mają się do siebie jako też same AB, BC. Ciało zaś, poruszające się według tych dwóch zmian, opisze przekątną AC, a moment jego prędkości będzie AC. Ale AC jest potencjalnie równe tym samym AB, BC, więc moment złożony z dwóch momentów AB, BC jest potencjalnie równy obu razem wziętym, c.b.d.d.

SIMPLICIO: Należałoby rozjaśnić pewną wątpliwość, która mi się nasuwa, zdaje mi się, że co dopiero wyrażony wniosek nie zgadza się z takimże z innego podania poprzedniego traktatu, według którego impet ciała, biegnącego od A do B, był równy takiemuż biegnącego od A do C; tu zaś wypada, że impet w C jest większy niż w B.

SALVIATI: Oba podania, panie Simplicio, są prawdziwe, lecz od siebie nader różne. Tu chodzi o jedno i to samo ciało, które jeden tylko ruch może wykonywać, ale ten ruch jest złożony z dwóch, obu jednostajnych; a tam była mowa o dwóch ciałach spadających z jednakowym przyspieszeniem, jedno wzdłuż prostopadłej AB, drugie po pochyłej AC. W tym ostatnim przypadku czasy przyjmowano nierówne, bo czas spadku po pochyłej AC jest większy niż czas spadku wzdłuż prostopadłej AB; teraz zaś rozważamy ruchy po AB, BC, AC, jednostajne i dokonywane w tym samym czasie.

SIMPLICIO: Przepraszam, idźmy dalej, bo jestem zaspokojony.

SALVIATI: W dalszym ciągu poszukuje autor impetu ciała, ożywionego dwoma ruchami, jednym jednostajnym poziomym, a drugim jednostajnie przyspieszonym pionowym, z których w rezultacie składa się ruch pocisku, opisującego linią paraboliczną; w każdym jej punkcie stara się oznaczyć, jaki jest impet pocisku: dla zrozumienia tego podaje autor sposób albo, powiedzmy, metodę regulowania i mierzenia tego impetu na tej linii, wzdłuż której się odbywa spadek ciężaru ruchem naturalnie przyspieszonym po wyjściu ze spoczynku: mówiąc:

Twierdzenie III. Podanie III

Niech będzie (rys. 110) ruch po linii AB, ze spoczynku w A i przyjmijmy na niej jakikolwiek punkt A; i połóżmy, że samo AC przedstawia czas albo miarę czasu spadku po AC, a także miarę impetu albo momentu nabytego w C po spadku wzdłuż AC. Weźmy dalej na tej samej prostej AB inny punkt B, w którym impet nabyty przez ciało przy spadku po AB oznaczony być może w stosunku do impetu nabytego w C, którego miarą jest AC. Połóżmy AS, średnią proporcjonalną między BA i AC. Dowiedziemy, że impet w B ma się do impetu w C, jak linia SA do AC. Poprowadźmy poziome, CD dwa razy większą od AC i BE dwa razy większą od BA. Wiadomo z poprzedniego, że jeżeli ciało spada po AC, a następnie zwrócone zostanie na poziomą CD, z impetem osiągniętym w C, to przebiegnie tam ruchem jednostajnym drogę CD w tym samym czasie, w jakim spadało po AC; tak samo BE przebyte zostanie w tym samym czasie co AB. Ale czas spadku po AB jest równy AS, wiec BE przebyte będzie w czasie AS. Połóżmy teraz, że tak się ma czas SA do czasu AC, jak EB do BL. Że zaś ruch po EB jest jednostajny, to droga BL przebyta będzie w czasie AC z momentem prędkości w B. Ale w tym samym czasie przebyta będzie droga CD z momentem prędkości w C: momenty zaś prędkości mają się do siebie jak drogi z tymi momentami przebyte w tym samym czasie: zatem moment prędkości w C ma się do momentu prędkości w B, jak DC do BL. Że zaś jak DC do BE, tak się mają do siebie ich połowy, tj. CA do AB, a EB do BL ma się jak BA do AS, więc CD do BL ma się jak BA do AS, więc CD do BL ma się jak CA do AS, tj. jak moment prędkości w C do momentu prędkości w B, tak się ma CA do AS, albo czas spadku po CA do czasu spadku po AB. Tak się uwydatnia metoda mierzenia impetu albo momentu prędkości na linii prostopadłego spadku, przy czym przyjęto, że impet rośnie proporcjonalnie do czasu.

Zanim pójdziemy dalej, należy nadmienić, że ponieważ ma być mowa o ruchu złożonym z jednostajnego poziomego i przyspieszonego z góry na dół (bo z takiego połączenia powstaje i formuje się krążna pocisku, tj. parabola), musimy przeto ustalić pewną ogólną miarę, którą by obu ruchów prędkości, impety lub momenty (velocitatem, impetum seu momentum) mogły być mierzone. Ze zaś niezliczone są stopnie prędkości ruchu jednostajnego, z których nie którykolwiek przypadkowy, lecz jeden z tych niezliczonych ma być złożony i połączony ze stopniem prędkości, nabytym w ruchu naturalnie przyspieszonym, to nie można obmyśleć prostszej drogi wiodącej do wyboru i oznaczenia stopnia prędkości jak przyjęcie innego tegoż rodzaju. Aby się zatem jaśniej wyrazić; niech będzie (rys. 111) prostopadła AC do poziomej BC: AC będzie wysokością a CB amplitudą połowy paraboli AB, którą opisuje złożenie dwóch ruchów, z których jeden jest spadkiem ciała po AC, ruchem naturalnie przyspieszonym, po wyjściu ze spoczynku w A, a drugi ruchem poprzecznym jednostajnym wzdłuż poziomej AD. Impet nabyty w C przez spadek po AC, mierzy się tąż wysokością AC, bo zawsze ten sam jest impet ciała spadającego z tej samej wysokości: na poziomej zaś można dla ruchów jednostajnych wyznaczać niezliczone stopnie prędkości; aby ten, który wybiorę z tej mnogości, oznaczyć i odróżnić od innych, i jakby palcem go wskazać, przedłużę wysokość CA w górę i na przedłużeniu, stosownie do potrzeby, ustalę taką wysokość AE, aby ciało, wychodzące ze spoczynku w E i po tej wysokości spadające, osiągało w A taki impet, z jakim ma się poruszać zwrócone na poziomą AD: jest to ten stopień prędkości, z jakim w czasie spadku po EA, przebyta będzie wzdłuż poziomej droga równa podwójnemu EA. Uwaga ta wydała się tu konieczną.

Zauważymy nadto, że pozioma CB zwana jest amplitudą połowy paraboli AB. Wysokość, tj. AC, tejże paraboli osią. Linią zaś EA, przez spadek po której oznacza się impet poziomy nazywam wyniosłością (sublimitas). Po tych uwagach i określeniach, zwracam się do dowodzeń.

SAGREDO: Zatrzymajcie się, proszę, sądzę bowiem, że tu będzie na miejscu podnieść ten pomysł autora, wykazując jego zgodność z koncepcją Platona oznaczania różnych prędkości biegów jednostajnych przy zmianach obrotów ciał niebieskich; wpadł on przypadkowo na myśl, że żadne ciało nie może przejść od spoczynku do pewnego oznaczonego stopnia prędkości, który ma następnie stale zachowywać, nie przeszedłszy przez wszystkie inne stopnie prędkości mniejszej, tj. właściwie mówiąc większego opóźnienia, jakie się mieszczą między stopniem oznaczonym a stopniem największego opóźnienia, to jest spoczynkiem; mówił on, że Bóg, po stworzeniu ruchomych ciał niebieskich, dla nadania im tych prędkości, z jakimi następnie miały wiecznie krążyć jednostajnie po drogach kołowych, sprawił, że wychodząc ze spoczynku poruszały się po wyznaczonych drogach prostolinijnych takim ruchem naturalnym, jak się poruszają nasze ciała, wyszedłszy ze spoczynku i wciąż przyspieszają swój bieg. I dodaje, że skoro osiągnięty został przez nie odpowiedni stopień prędkości, który potem miał się wiecznie utrzymywać, wtedy ruch prostolinijny zmieniał się na kołowy, który jedyny nadaje się do pozostawania jednostajnym, bo obiegi odbywają się bez oddalania się lub zbliżania do pewnego celu, do którego by te ciała dążyły. Pomysł ten godny jest Platona i tym więcej winien być ceniony, że przemilczone jego podstawy, a odkryte przez naszego autora, po usunięciu osłonek i pozorów poetycznych, przedstawiają go w prawdziwej postaci. I wydaje mi się prawdopodobne, że skoro mamy z nauki astronomii dość dokładne dane o wielkości orbit planet, ich odległości od środka, wokół którego krążą, jak ich prędkości, to i nasz autor (dla którego pomysł Platona nie jest tajemnicą) zapewne nieraz z ciekawości myślał o rozpoczęciu badań nad znalezieniem pewnej określonej wyniosłości (sublimita), wzdłuż jakiej wychodzące ze stanu spoczynku planety musiałyby się poruszać, po oznaczonych drogach prostolinijnych, biegem naturalnie przyspieszonym, aby następnie prędkość nabyta odpowiadała przy ruchu jednostajnym wielkościom ich orbit i czasom ich obrotów.

SALVIATI: Przypominam sobie, że mi opowiadał o zrobieniu takiego obliczenia i znalezienia przy tym zgodności z obserwacjami; ale nie chciał więcej o tym mówić, obawiając się, aby liczne nowości, jakie odkrył i które wywołały oburzenie wśród wielu, nie roznieciły nowych iskier. Kto by jednak miał ochotę, może na podstawie wskazówek, zawartych w traktacie jaki mamy przed sobą, uczynić zadość swemu upodobaniu. Ale wróćmy do naszego przedmiotu.

Zadanie I. Podanie IV

Jakim sposobem, w poszczególnych punktach danej paraboli, opisanej przez pocisk, określa się impet.

Niech będzie (rys. 112) połowa paraboli BEC, jej amplituda CD, wysokość DB, która w górę przedłużona spotyka w A styczną CA do paraboli, a przez wierzchołek B poprowadzona równoległa BI do poziomu CD. Jeżeli amplituda CD jest równa całej wysokości DA, to będzie BI równe BA i równe BD. A jeżeli przyjmiemy, że AB jest miarą czasu spadku po AB i miarą momentu prędkości nabytego w B przy spadku wzdłuż AB po wyjściu ze spoczynku w A, to DC (podwojone BI) będzie drogą, która z impetem osiągniętym wzdłuż AB, po skierowaniu ciała na poziomą przebyta zostanie w tym samym czasie. Lecz w ciągu tegoż czasu, ciało spadające po BD ze spoczynku w B, przebywa wysokość BD, więc spadające po AB ze spoczynku w A, zwrócone z impetem AB na poziomą, przebiegnie drogę równą DC. Przyłączający się spadek po BD przebywa wysokość BD; i opisana zostaje parabola BC: na której impet w końcu C składa się z jednostajnego poprzecznego; którego moment jest AB i z drugiego momentu nabytego przy spadku BD w końcu D czyli C; które to oba momenty są sobie równe. Jeżeli więc AB jest miarą jednego z nich, mianowicie jednostajnego poprzecznego, to BI równe BD będzie miarą impetu osiągniętego w D lub C, a prosta IA będzie ilością momentu złożonego z obu: będzie więc ona także ilością czyli miarą całego momentu, jaki pocisk biegnący po paraboli BC posiada jako impet w C. To założywszy, weźmy na paraboli jakikolwiek punkt E, w którym oznaczony ma być impet pocisku. Poprowadźmy poziomą EF i weźmy BG średnią proporcjonalną między BD i BF. Ponieważ AB, czyli BD, jest miarą czasu i momentu prędkości (momentum velocitatis) przy spadku BD ze spoczynku w B, to BG będzie czasem, albo miarą czasu impetu w F przy zejściu z B. Jeżeli zatem położymy BO równe BG, to łącząca przekątna AO będzie ilością impetu w punkcie E; albowiem AB przyjęto jako miarę czasu i impetu w B, który po skierowaniu ciała na poziomą dalej się utrzymuje; BO zaś określa impet w F, albo w E, przy spadku ze spoczynku w B wzdłuż wysokości BF, te zaś AB, BO, równoważone są potencjalnie przez AO, otrzymuje się więc co było żądane.

SAGREDO: Rozważanie, tak składania tych różnych impetów, jak i ilości impetu wypadkowego, wydaje mi się tak nowem, że doznaję niemałej konfuzji. Nie mówię o składaniu dwóch ruchów jednostajnych, jakkolwiek niejednakowych, gdyż jeden jest poziomy a drugi pionowy, bo te są najodpowiedniejsze do wytworzenia ruchu potencjalnie równego obu składowym, lecz nie mogę zdać sobie sprawy z połączenia ruchu jednostajnego poziomego z przyspieszonym prostopadłym. Dlatego prosiłbym o nieco gruntowniejszy wykład tego przedmiotu.

SIMPLICIO: I dla mnie jest to potrzebne, tym więcej, że nie jestem jeszcze całkowicie przekonany o potrzebie tych twierdzeń, stanowiących jakby podstawę innych, które po nich następują. Przyznam się, że nawet przy składaniu dwóch ruchów jednostajnych, poziomego i pionowego, pragnąłbym lepiej zdawać sobie sprawę z potęgi wypadkowej. Teraz, panie Salviati, zechce Waszmość uczynić zadość naszej potrzebie i życzeniu.

SALVIATI: Życzenia Wasze są zupełnie uzasadnione, a ponieważ dłuższy czas nad tym myślałem, spróbuję uczynić im zadość. Pozwólcie tymczasem, że wrócę do rzeczy, wielokrotnie już poruszanych przez autora.

Rozprawiać stanowczo o ruchach, ich prędkości lub impecie, czy to jednostajnych, czy też naturalnie przyspieszonych, nie możemy, nie określiwszy najpierw miary, której by użyć można do mierzenia prędkości, a także do mierzenia czasu. Co do miary czasu, to mamy ogólnie przyjęte godziny, minuty pierwsze i drugie itd., a tak samo jak dla czasu, musimy mieć i dla prędkości miarę dla wszystkich zrozumiałą i ogólnie przyjętą, czyli wszędzie jednakową.

Za odpowiednią do tego użytku uważał autor, jak tu powiedziano, prędkość ciała swobodnie spadającego, bo wszędzie na ziemi prędkości jednakowo rosną. Gdyż stopień prędkości, jaki np. osiąga po wyjściu ze spoczynku jednofuntowa kula ołowiana, spadająca prostopadle z wysokości, jednego pręta (una pieca) jest zawsze ten sam we wszystkich miejscowościach, a przez to najodpowiedniejszy do wyrażenia ilości impetu, pochodzącego z naturalnego spadku. Pozostaje więc jeszcze szukać metody oznaczania ilości impetu w ruchu jednostajnym w taki sposób, aby wszyscy ci, którzy o niej będą mówić, wytwarzali sobie to samo pojęcie o jego wielkości i prędkości; aby jeden nie wyobrażał sobie impetu prędszego niż drugi; a następnie, aby przy łączeniu i mieszaniu powstałych z ruchu jednostajnego i przyspieszonego, różni ludzie nie tworzyli sobie różnych pojęć o różnych wielkościach impetów. Dla oznaczania i przedstawiania takiego szczególnego impetu i prędkości, nie znalazł nasz autor innego odpowiedniejszego środka, jak posługiwać się tym impetem, który osiąga ciało w ruchu naturalnie przyspieszonym, którego każdy moment osiągnięty, przy zmianie ruchu na jednostajny, zatrzymuje swoją prędkość ściśle określoną i taką, że w ciągu czasu równego czasowi spadku przebyta będzie długość, równa podwójnej wysokości spadku. Lecz ponieważ jest to główny punkt rozważanej kwestii, dobrze będzie objaśnić go szczególnym przykładem. Wracając więc do prędkości i impetu nabytego przez ciało spadające, jak powiedzieliśmy, z wysokości jednego pręta, którą to prędkością chcemy się posługiwać przy mierzeniu innych prędkości lub opóźnień w innych przypadkach i przyjmując np., że czas takiego spadku wynosić będzie cztery sekundy, to nie powinniśmy, dla określenia impetu ciała spadającego z jakiejkolwiek innej wysokości, większej lub mniejszej, brać stosunku tej ostatniej wysokości do jednego pręta; przyjmując np., że przy czterokrotnie większej wysokości spadku, osiągnięta zostanie prędkość cztery razy większa; to bowiem byłoby mylne; gdyż przy ruchu naturalnie przyspieszonym, prędkość ani rośnie ani się zmniejsza proporcjonalnie do drogi, a tylko proporcjonalnie do czasu, drogi zaś rosną proporcjonalnie do kwadratów z czasu, jak to było dowiedzione. Bo gdybyśmy mieli na linii prostej oznaczoną pewną jej część, jako miarę prędkości, a także jako miarę czasu i przebytej w ciągu tego czasu drogi (które trzy wielkości, dla skrócenia przedstawiane są często przez jedną i też samą linię), to dla zmierzenia czasu i stopnia prędkości, który by to samo ciało osiągnęło na innej odległości, brać musimy jako miarę nie bezpośrednio tę ostatnią odległość, lecz średnią proporcjonalną między dwiema odległościami. Lecz lepiej to objaśnię na przykładzie. Wyobraźmy sobie (rys. 113), że wzdłuż linii AC, prostopadłej do poziomu, przebywa ciało jej część AB ruchem przyspieszonym naturalnego spadku: czas trwania tego spadku przedstawić mogę jakąkolwiek linią, a w skrócie przedstawię go przez tę samą linią AB, którą przyjmę także za miarę impetu i nabytej w tym ruchu prędkości, tak że dla wszystkich wielkości, branych pod uwagę w ciągu rozmowy, miarą będzie AB. Ustaliwszy naszem dowolnym przypuszczeniem, że jedna wielkość AB przedstawia trzy miary różnego rodzaju, mianowicie miary dróg, czasów i impetów, zajmiemy się oznaczeniem dla danej drogi AC, czasu spadku od A do C i impetu osiągniętego w C, w stosunku do czasu i impetu, których miarą jest AB. Jeden i drugi znajdziemy, biorąc dla dwóch linii AC, AB, średnią proporcjonalną AD i ustalając, że czas spadku po AC ma się do czasu spadku po AB jak linia AD do AB. Powiemy tak samo, że impet, albo stopień prędkości (impeto o grado di velocità), osiągnięty w C, ma się do impetu w B jak ta sama linia AD do AB, bo prędkość rośnie w tym samym stosunku co i czas: a jakkolwiek ten wniosek przyjęty został jako postulat, wszakże autor objaśniał jego zastosowanie w podaniu trzeciem.

Po dobrym zrozumieniu i ustaleniu powyższego, weźmiemy pod uwagę impet pochodzący z dwóch ruchów złożonych; jednego złożonego z poziomego i zawsze jednostajnego, oraz prostopadłego do poziomu, także jednostajnego. Ale drugi złożony będzie z poziomego jednostajnego i prostopadłego naturalnie przyspieszonego. Gdy oba są jednostajne, to jak widzieliśmy co dopiero, impet wypadkowy ze złożenia obu jest obu równy potencjalnie, co dla jasności objaśnimy na przykładzie. Wyobraźmy sobie, że ciało, spadające po prostopadłej AB (rys. 114) ma np. 3 stopnie impetu równomiernego, ale przenoszone jest przez AB ku C z prędkością i impetem 4 stopni, tak, że w tym samym czasie, gdy spadając przebiegnie po prostopadłej 3 łokcie, to po poziomej przejdzie 4; lecz przez złożenie obu prędkości przejdzie ono w ciągu tego czasu od A do C, postępując ciągle po przekątnej AC, której długość nie wynosi 7, to jest sumy z AB, 3 i BC, 4, ale 5, które potencjalnie jest równe obu 3 i 4. Bo jeżeli weźmiemy kwadraty z 3 i 4, to jest 9 i 18 i połączymy je, to utworzą razem 25, jako kwadrat z AC, równy obu kwadratom z AB i BC, a więc AC będzie bokiem, a raczej pierwiastkiem kwadratu 25, czyli będzie 5. Przyjąć więc należy, za prawidło ścisłe i pewne, że gdy chodzi o oznaczenie ilości impetu, złożonego z dwóch impetów danych, jednego poziomego, drugiego prostopadłego a obu jednostajnych, należy utworzyć z nich kwadraty i dodać do siebie, następnie wyciągnąć pierwiastek z sumy, który da ilość impetu złożonego z obu. I jak w naszym przykładzie ciało wskutek ruchu prostopadłego miałoby popchnięcie do poziomu z siłą 3 stopni, a w ruchu poziomym uderzenie w C z 4 stopniami, popychane przez oba połączone impety, będzie ono jakby uderzone i poruszające się z 5 stopniami prędkości i siły. A uderzenie to mieć będzie tę samą wartość we wszystkich punktach przekątnej AC, dopókąd impety składowe pozostają te same, nie rosną i nie zmniejszają się.

Zobaczmy teraz, co następuje przy składaniu ruchu jednostajnego poziomego z ruchem prostopadłym do poziomu, który zaczynając od spoczynku postępuje z naturalnym przyspieszeniem. Oczywiście przekątna, będąca linią ruchu z tych dwóch złożonego, nie jest linią prostą lecz półparabolą, jak to było dowiedzione; wzdłuż której impet wciąż wzrasta, dzięki ciągłemu wzrostowi prędkości ruchu prostopadłego. Toteż dla określenia, jaki będzie impet w danym punkcie tej przekątnej parabolicznej, trzeba najpierw oznaczyć ilość impetu jednostajnego poziomego, a następnie badać, jaki będzie impet spadku w danym punkcie; to rozważanie czasu nie było potrzebne przy składaniu dwóch ruchów jednostajnych, bo ich prędkości i impety były wciąż te same; tu przeciwnie, gdy przychodzi składać ruch, który począwszy od największego opóźnienia, postępuje z prędkością rosnącą razem z czasem, konieczne jest, aby ilość czasu wykazywała ilość stopnia prędkości w danym punkcie: w rezultacie więc impet złożony z tych dwóch (jak dla naszych ruchów jednostajnych) będzie potencjalnie równy obu składowym. Ale lepiej jeszcze objaśnię to na przykładzie. Niech będzie (rys. 115) na prostopadłej do poziomu AC wzięta jakakolwiek część AB, która jednocześnie mierzy drogę ruchu naturalnego po tej prostopadłej, a także jest miarą czasu i stopnia prędkości a raczej impetu. Oczywistem jest najpierw, że impet ciała spadającego z A przemieni się w B na ruch jednostajnie wzdłuż BD równoległej do poziomu, a ilość prędkości tego ruchu będzie taka, że w ciągu czasu AB ciało przebiegnie podwójną drogę AB i tak długą niech będzie BD. Połóżmy dalej BC=BA, poprowadźmy CE równoległą do BD i jej równą, i opiszmy przez punkty B, E, linią paraboliczną BEI. A ponieważ w ciągu czasu AB z impetem AB przebywana jest pozioma BD lub CE, dwa razy większa od AB i w tym samym czasie prostopadła BC z impetem nabytym w C, równym poziomemu, więc ciało po upływie czasu AB znajdzie się w B, przebywszy od E parabolę BE, i mieć będzie impet złożony z dwóch, z których każdy jest równy impetowi AB. A ponieważ jeden z nich jest poziomy, a drugi pionowy, to impet wypadkowy będzie potencjalnie równy obu składowym. Połóżmy więc BF=BA i poprowadźmy przekątną AF; impet i uderzenie w E będzie większe od uderzenia w B, ciała spadającego z wysokości A, albo od uderzenia impetu poziomego wzdłuż BD, w stosunku AF do AB. Ale jeżeli uważamy zawsze BA za miarę drogi spadku od spoczynku w A do B, oraz miarę czasu i impetu, jaki ciało spadające nabywa w B, to wysokość BO nie byłaby równą ale większą od AB; wziąwszy BG średnią proporcjonalną między AB i BO, będzie BG miarą czasu i impetu w O, nabytego przy spadku z wysokości BO; droga po poziomej, która przebyła z impetem AB w ciągu czasu AB była dwa razy większa od AB, będzie w ciągu czasu BG o tyle większa, o ile BG jest większe od BA. Połóżmy LB=BG i poprowadźmy przekątną AL, a otrzymamy ilość złożoną z dwóch impetów, poziomego i pionowego, które opisują parabolę: z nich poziomy jest jednostajny, nabyty w B przez spadek po AB, a drugi jest nabyty w O, a raczej w I, przez spadek po BO w ciągu czasu BG, które jest zarazem ilością jego momentu. Podobnie znajdziemy impet w końcowym punkcie paraboli, gdy jej wysokość będzie mniejsza od wyniosłości AB, biorąc między obiema średnią proporcjonalną; ta, umieszczona na poziomej zamiast BF, pozwala poprowadzić przekątną jak AF będącą ilością impetu w punkcie końcowym paraboli.

Do rozważanej metody badania impetów, strzałów, a raczej uderzeń takich pocisków, dodać należy inną nader ważną uwagę, a mianowicie, że dla dobrego oznaczenia siły uderzenia i jego energji nie wystarcza rozważanie samej prędkości pocisku, lecz należy jeszcze mieć na względzie stan i warunki, w jakich się znajduje ciało uderzane, gdyż z wielu względów ma to wielkie znaczenie dla skuteczności uderzenia. A najpierw, nie ma takiego, kto by nie wiedział, że ciało uderzane tym więcej podlega gwałtownej prędkości uderzającego, im bardziej się mu opiera i ruch jego hamuje w całości lub częściowo; i jeżeli uderzone ustępuje przed prędkością uderzającego, to takie uderzenie nie wywiera żadnego skutku. Ten zaś, kto pędzi by przebić lancą swego przeciwnika i wpada na uciekającego z taką samą prędkością, nie uderzy go, lecz tylko dotknie bez uszkodzenia.

Ale jeżeli uderzenie trafia na taki przedmiot, który uderzającemu niezupełnie ustępuje, lecz tylko częściowo, to uderzenie uszkadza, lecz nie całym swoim impetem, a tylko przewyżką prędkości uderzającego nad prędkością cofania się i ustępowania uderzonego: tak, że jeżeli np. ciało uderzające dochodzi do uderzonego z 10 stopniami prędkości, a to ostatnie, ustępując częściowo cofa się z 4 stopniami, to impet i uderzenie wynosić będzie 6 stopni. Uderzenie wreszcie będzie zupełne i największe odnośnie do ciała uderzającego, gdy ciało uderzane wcale nie ustępuje, lecz całkowicie się opiera i wstrzymuje cały ruch uderzającego; jeżeli to może się zdarzyć. Powiedziałem, odnośnie do ciała uderzającego, bo jeżeli by ciało uderzone poruszało się w odwrotnym kierunku, tj. w stronę uderzającego, to strzał i uderzenie będą tym silniejsze, im obie przeciwne prędkości razem wzięte są większe od prędkości ciała uderzającego. Nadto zauważyć należy, że większe lub mniejsze ustępowanie zależy nie tylko od mniejszej lub większej twardości tworzywa, jakby to było żelazo, ołów, wełna itp., ale także od położenia ciała otrzymującego uderzenie; jeżeli to położenie jest takie, że ruch ciała uderzającego spotyka je pod kątem prostym, to impet strzału będzie największy: lecz jeżeli ruch będzie nachylony, jakbyśmy powiedzieli, ukośny, to cios będzie słabszy i to tym więcej, im większe będzie nachylenie, bo tak położony przedmiot, choćby był z najtwardszego tworzywa, nie niszczy i nie zatrzymuje całego impetu i ruchu ciała uderzającego, które wymykając się leci dalej, wykonując ruch swój częściowo tylko na powierzchni opierającej się przeszkody. Gdy więc poprzednio oznaczano wielkość impetu pocisku na końcu paraboli, to miano zawsze na względzie uderzenie prostopadłe do tej paraboli albo do stycznej do niej w danym punkcie; bo jeżeli ten ruch złożony jest z poziomego i prostopadłego, to uderzenie nie wywiera swego maksymalnego działania ani na płaszczyznę poziomą ani na pionową, gdyż względem obu otrzymane zostaje ukośnie.

SAGREDO: Rozważanie tych uderzeń przypomina mi zagadnienie albo raczej jedną kwestię z mechaniki, której rozwiązania nie znalazłem u żadnego autora, ani nawet wzmianki, która by mnie choć w części zadowoliła. Moje powątpiewanie i podziw polegają na tem, że nie mam przeświadczenia, skąd może pochodzić i od czego zależy energia i niezmierna siła, objawiająca się podczas uderzenia, gdy jednym ciosem młotka, nie ważącego więcej jak 8 do 10 funtów, pokonujemy takie opory, które nie ustępują żadnemu ciężarowi działającemu bez uderzenia a tylko z impetem naciskowym, choćby ten ciężar wynosił wieleset funtów. Pragnąłbym bardzo poznać sposób mierzenia siły tego uderzenia, która, nie sądzę, aby była nieskończona, uważam raczej, że ma pewną wartość oznaczoną, która mogłaby być porównana z innymi siłami naciskającemi ciężkości i wreszcie zmierzona, albo drąga, albo śruby, albo innych narzędzi mechanicznych, których zwiększenie siły jest dla mnie w zupełności zrozumiałe.

SALVIATI: Nie sam pan tylko podziwia to działanie, nie mając jasnego pojęcia o przyczynie zadziwiającego zjawiska. Rozmyślałem nad nim pewien czas na próżno i wciąż się zwiększała moja niepewność, aż w końcu, spotkawszy raz naszego Akademika, podwójnie zostałem przezeń pocieszony: dowiedziałem się najpierw, że i on także pozostawał przez długi czas w podobnej nieświadomości, następnie powiedział mi, że poświęciwszy wiele tysięcy godzin swego życia na zastanawianie się i badanie, doszedł do niektórych wyników, bardzo dalekich od naszych bezpośrednich wyobrażeń, a przez to nowych i swą nowością zadziwiających. A jakkolwiek wiem, że Waszmość pragnął, aby się zapoznać z takimi pomysłami, nader oddalonemi od panujących poglądów, to jednak obecnie nie będę mógł uczynić zadość żądaniu, lecz przyrzekam, że, gdy ukończymy czytanie tego traktatu, objaśnię wszystkie tę pomysły i nadzwyczajności, które mi pozostały w pamięci z rozmów z naszym Akademikiem. A tymczasem podążajmy za podaniami autora.

Zadanie II. Podanie V

Na przedłużeniu osi danej paraboli oznaczyć punkt najwyższy, z którego spadające ciało opisze daną parabolę.

Niech będzie (rys. 116) parabola AB, jej amplituda HB, przedłużenie jej osi HE, na którym ma być oznaczona wyniosłość, z której spadające ciało, z impetem osiągniętym w A zwrócone na poziomą, opisuje parabolę AB. Poprowadźmy poziomą AG, równoległą do BH i połóżmy AF=AH, poprowadźmy prostą FB, styczną do paraboli w B, a przecinającą w G poziomą AG; odetnijmy AE trzecią proporcjonalną do FA i AG. Twierdzę, że E będzie szukanym punktem, z którego ciało, wychodzące ze spoczynku w E i z nabytym impetem w A skierowane poziomo razem z impetem spadku ze spoczynku w A do H, opisze parabolę AB. Bo jeżeli EA jest czasem spadku od E do A a jednocześnie miarą impetu nabytego w A, to będzie AG (średnia proporcjonalna między EA i AF) czasem spadku i impetu przy spadku z F do A, albo z A do H. A ponieważ ciało spadające z E, z impetem nabytym w A, przebędzie ruchem jednostajnym na poziomie drogę równą podwojonemu EA, a w czasie i z impetem AG drogę równą podwojonemu GA czyli BH (bo przy ruchu jednostajnym drogi są proporcjonalne do czasów), a w ruchu prostopadłym ze spoczynku w czasie GA przebiegnie drogę AH; zatem w tym samym czasie przebyta będzie przez ciało amplituda HB i wysokość AH. Ciało więc spadające z E opisze parabolę AB, jak to było założone.

Wniosek

Wynika stąd, że połowa podstawy, albo połowa amplitudy półparaboli (która jest czwartą częścią amplitudy całej paraboli), jest średnią proporcjonalną między jej wysokością a wyniosłością, z której spadek ją opisuje.

Zadanie III. Podanie VI

Dana jest wyniosłość i wysokość połowy paraboli, znaleźć jej amplitudę.

Niech będzie AC (rys. 117), prostopadła do poziomej DC, na której dana jest wysokość CB i wyniosłość BA. Oznaczyć trzeba na poziomej CD amplitudę tej półparaboli, którą ciało z wyniosłości BA opisze z wysokością BC. Weźmy średnią proporcjonalną między CB i BA i odetnijmy CD równą tejże podwojonej. Twierdzę, że CD będzie szukaną amplitudą. Wynika to z poprzedniego.

Twierdzenie IV. Podanie VII

Spomiędzy ciał, opisujących półparabolę jednakowej amplitudy, to, które opisuje parabolę o amplitudzie równej podwójnej wysokości, będzie miało mniejszy impet od każdego innego.

Niech będzie (rys. 118) półparabola BD, której amplituda CD jest dwa razy większa od wysokości CB, odetnijmy na górnym przedłużeniu osi BA równe wysokości BC: poprowadźmy AD styczną do paraboli w D a poziomą BE przecinającą w E, będzie więc BE równe BC albo równe BA; wiadomo, że parabolę opisuje ciało, którego impet jednostajny poziomy jest taki jak nabyty w B przy spadku ze spoczynku w A, a impet naturalny z góry na dół, jak w C przy spadku ze spoczynku w B. Wynika stąd, że impet z tych dwóch złożony, działający w punkcie końcowym D będzie jak przekątna AE równy potencjalnie obu. Niech będzie GD jakakolwiek inna półparabola z tą samą amplitudą CD, lecz z wysokością CG, mniejszą lub większą od wysokości BC; styczną do niej będzie HD, przecinająca poziomą przeprowadzoną przez G w punkcie K; i niech będzie jak HG do GK, tak KG do GL, z której to wysokości GL, wedle tego co poprzednio dowiedziono, spadające ciało opisuje parabolę GD. Między AB i GL niech będzie średnia proporcjonalna GM: to GM będzie czasem i momentem albo impetem w G przy spadku z L (założono bowiem, że AB jest miarą czasu i impetu). Niech będzie znów, między HC i CG średnia proporcjonalna GN, będzie ona miarą czasu i impetu przy spadku z G do C. Jeżeli poprowadzimy MN, to będzie ono miarą impetu ciała opisującego parabolę BD, osiągniętego w punkcie końcowym D. Twierdzę, że impet ten jest większy od impetu na paraboli BD, który się równał AE. Albowiem GN jest średnią między BC i CG, a że BC równe BE, to jest równe GK (bo obie są połową DC); będzie więc jak CG do GN, tak NG do GK i jak CG albo HG do GK, tak kwadrat z NG do kwadratu z GK; jak zatem HG do GK, tak się ma KG do GL a więc jak kwadrat z NG do kwadratu z GK, tak się ma KG do GL; lecz jak KG do GL, tak się ma kwadrat z KG do kwadratu z GM (bo GM jest średnią między KG i GL), a więc trzy kwadraty NG, GK i GM tworzą ciąg proporcjonalny, a dwa skrajne NG i GM razem wzięte dają kwadrat z NM większy od podwojonego kwadratu z KG, który jest równy podwojonemu kwadratowi z AE: więc kwadrat z MN jest większy od kwadratu z AE i linia NM większa od linii EA, c.b.d.d.

Wniosek

Okazuje się stąd, że odwrotnie, przy ruchu pocisku z punktu końcowego D, po półparaboli DB, impet osiągnięty jest mniejszy, niż dla każdej innej wysokości większej lub mniejszej od wysokości półparaboli DB, której styczna AD czyni z poziomem kąt równy połowie kąta prostego. Stąd znów wynika, że jeżeli z tym samym impetem wyrzucane będą pociski, z punktu końcowego D, przy różnych nachyleniach, to rzut najdalej sięgający, to jest największa amplituda połowy lub całej paraboli, nastąpi przy nachyleniu równem połowie kąta prostego; inne rzuty, przy większym lub mniejszym nachyleniu sięgać będą mniej daleko.

SAGREDO: Zadziwiająca i wyborna jest potęga ścisłych dowodzeń, a takimi są tylko dowodzenia matematyczne. Wiedziałem już ufając opowiadaniom wielu bombardierów, że ze wszystkich strzałów armatnich lub moździerzowych, te, których kula padała najdalej, robione były przy nachyleniu równym połowie kąta prostego, które oni nazywają szóstym punktem kwadransa. Ale zrozumienie przyczyny, skąd to pochodzi, nieskończenie wiele więcej znaczy, niż proste zapewnienie innych, a nawet więcej niż wielokrotnie powtarzane doświadczenie.

SALVIATI: Uwaga Waszmości jest nader słuszna: a poznanie jednego zjawiska, na zasadzie jego przyczyn, otwiera nam drogę do zrozumienia innych zjawisk bez potrzeby uciekania się do doświadczeń; tak też rzecz się ma i w tym przypadku, gdzie przez rozważanie dochodzimy do zdania sobie sprawy, że najdalszy rzut następuje przy nachyleniu równem połowie kąta prostego; tu autor dowodzi rzeczy, która doświadczalnie nie była zaobserwowana a mianowicie, że inne strzały jednakowo daleko niosą, gdy nachylenia są jednakowo większe lab mniejsze od połowy kąta prostego: tak, że kule, z których jedna przy nachyleniu 7-go a druga 5-go punktu kwadransa zostały wystrzelone, dochodzą do poziomu w jednakowej odległości a także wystrzelone przy nachyleniu 8 i 4, 9 i 3 itd. Ale wysłuchajmy dowodzenia.

Twierdzenie V. Podanie VIII

Amplitudy parabol, opisanych przez pociski wyrzucone z jednakowym impetem i przy nachyleniach jednakowo większych lub mniejszych od połowy kąta prostego są sobie równe.

W trójkącie prostokątnym (rys. 119) MCB niech będzie pozioma BC równa pionowej CM, tak, że kąt MBC jest połową prostego: przedłużmy CM do D i wykreślmy nad i pod przekątną MB przy wierzchołku B dwa równe kąty MBE i MBD. Dowieść mamy, że amplitudy parabol opisanych przez pociski wyrzucone z B z jednakowym impetem, przy nachyleniach EBC i DBC są sobie równe. Ponieważ bowiem kąt zewnętrzny BMC jest równy wewnętrznym MDB, DBM, więc tym obu równy jest także kąt MBC. Jeżeli zamiast kąta DBM weźmiemy kąt MBE, to będzie MBC równy dwu MBE, BDC, a po odjęciu wspólnego MBE zostanie reszta BDC równa reszcie EBC. Trójkąty zatem DCB i BCE są podobne. Przepołówmy proste DC i EC w H i F, poprowadźmy HI, FG równoległe do poziomej CB i jak DH do HI, niech będzie IH do HL; będzie zatem trójkąt IHL podobny IHD, któremu znów jest podobny EGF, że zaś IH, GF są równe (bo każda jest połową BC), więc FE, czyli FC jest równe HL, a dodając do obu FH, otrzymamy CH równe FL. Jeżeli teraz wyobrazimy sobie połowę paraboli, przechodzącą przez H i B, o wysokości HC, a wyniosłości HL, to jej amplituda będzie CB, które jest równe podwojonemu HI, podczas gdy HI jest średnią proporcjonalną między DH albo CH i HL; styczną więc do niej będzie DB wobec równości CH i HD. Jeżeli znów wyobrazimy sobie parabolę, przechodzącą przez F i B, z wyniosłością FL a wysokością FC, między którymi średnią proporcjonalną jest FG, równe połowie poziomej CB, to tak samo amplitudą jej będzie CB: styczną zaś do niej jest EB, bo EF i FC są sobie równe. Ze zaś kąty DBC, EBC (nachylenia rzutu) różnią się jednakowo od połowy kąta prostego, przeto twierdzenie jest dowiedzione.

Twierdzenie VI. Podanie IX

Amplitudy dwóch parabol są równe, jeżeli wysokości i wyniosłości tych parabol są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Wysokość (rys. 120) GF paraboli FH ma się do wysokości CB paraboli BD, jak wyniosłość BA do wyniosłości FE. Twierdzę, że amplitudy HG i DC są sobie równe. Ponieważ bowiem pierwsza GF ma się do drugiej CB, jak trzecia BA do czwartej FE, to prostokąt GVE z pierwszej i czwartej jest równy prostokątowi CBA z drugiej i trzeciej; zatem kwadraty równe tym prostokątom są sobie równe; a że prostokątowi GFE jest równy kwadrat z połowy GH, a prostokątowi CBA kwadrat z połowy CD, to te kwadraty, ich boki i zdwojenia tych boków są sobie równe. Tymi ostatnimi zaś są amplitudy GH i CD, c.b.d.d.

Lemat dla następującego twierdzenia

Jeżeli linia prosta podzielona zostanie w jakimkolwiek punkcie na dwie części, to suma kwadratów ze średnich proporcjonalnych między całą linią a każdą z części jest równa kwadratowi z całej linii.

Niech będzie (rys. 121) AB podzielona w C. Twierdzę, że kwadraty ze średnich proporcjonalnych między całą AB i częściami AC, CB razem wzięte są równe kwadratowi z całej AB. Opiszmy półkole na AB i wyprowadźmy z C prostopadłą CD, połączmy DA i DB. Jest więc DA średnią między BA, AC a DB średnią między AB, BC, a suma kwadratów z linij DA, BD jest równa kwadratowi z AB, bo kąt ADB w półkolu jest prosty; więc twierdzenie jest dowiedzione.

Twierdzenie VII. Podanie X

Impet czyli moment jakiejkolwiek półparaboli jest równy momentowi naturalnego spadku wzdłuż prostopadłej do poziomu tak długiej jak suma wyniosłości i wysokości półparaboli.

Niech będzie (rys. 122) półparabola AB, której wyniosłością jest DA, a wysokością AC, z których się składa prostopadła DC. Twierdzę, że impet na półparaboli w B jest równy momentowi naturalnego spadku od D do C. Przyjmijmy tę samą DC za miarę czasu i impetu i weźmy średnią proporcjonalną między CD i CA równą CF. Niech będzie nadto CE średnia proporcjonalna do DC i CA, to CF jest miarą czasu i momentu spadku wzdłuż DA ze spoczynku w D, a CE czasem i momentem spadku wzdłuż AC ze spoczynku w A, zaś przekątna EF momentem z nich złożonym i to jest właśnie moment na półparaboli w B. Że zaś DC podzielone jest w A, a CF i CE są średnie między całym CD a jego częściami DA i AC, to będzie suma kwadratów z tych średnich, na mocy powyższego lematu, równa kwadratowi z całości; ale ta suma jest także równa kwadratowi z EF, a więc i linia EF jest równa DC. Wynika stąd, że momenty spadku po DC i po półparaboli AB w C i w B są równe, c.b.d.d.

Wniosek

Wynika stąd, że impety wszystkich półparabol, których sumy wyniosłości i wysokości są równe, są sobie równe.

Zadanie II. Podanie XI

Mając dany impet i amplitudę półparaboli, oznaczyć jej wysokość.

Niech będzie dany impet (rys. 123), określony długością prostopadłej do poziomu AB i na poziomej dana amplituda BC. Należy znaleźć wyniosłość półparaboli, której impet byłby równy AB a amplituda BC. Z poprzedniego wynika, że połowa amplitudy BC jest średnią proporcjonalną między wysokością a wyniosłością tejże półparaboli, której impet według poprzedniego jest równy impetowi spadku wzdłuż AB, ze spoczynku w A. Zatem AB tak ma być podzielone, aby prostokąt z jego części był równy kwadratowi z połowy BC czyli z BD. Okazuje się tu, że DB nie może być większe od połowy BA, bo prostokąt utworzony z części jest największy, gdy części są równe. Przepołówmy zatem BA w E. Gdyby BD było równe BE, zadanie byłoby rozwiązane: wysokością półparaboli byłoby BE, a wyniosłością EA (i oto amplituda paraboli o podniesieniu równym połowie kąta prostego jest największa, jak to było dowiedzione, ze wszystkich opisanych przy jednakowym impecie). Gdy znów BD jest mniejsze od połowy BA, to podzielić należy to ostatnie tak, aby prostokąt z jego części był równy kwadratowi z DB. Opiszmy półkole na EA, od A odetnijmy AF równe BD: i poprowadźmy FE, któremu równe odetnijmy EG. Będzie tedy prostokąt BGA razem z kwadratem z EG równy kwadratowi z EA, któremu także jest równa suma kwadratów z AF i FE. Jeżeli odejmiemy równe sobie kwadraty z GE i FE, zostanie prostokąt BGA równy kwadratowi z AF albo z BD; a linia BD jest średnią proporcjonalną między BG i GA. Wynika stąd, że wysokość półparaboli o amplitudzie BC i impecie AB jest równa BG a wyniosłość równa GA. Jeżeli odetniemy BI równe GA, to BI będzie wysokością, a IA wyniosłością półparaboli IC. Na zasadzie dowiedzionego, możemy to uczynić.

Zadanie III. Podanie XII

Obliczyć i zestawić w tablicy amplitudy wszystkich półparabol, opisanych przez pociski wyrzucone z jednakowym impetem.

Z poprzednio dowiedzionego wynika, że pociski z jednakowym impetem wyrzucane, opisywać będą parabole, których sumy wyniosłości i wysokości będą jednakowe. Wszystkie te sumy leżą przeto na pionowej zawartej między temi samymi dwiema poziomymi. Niech będzie (rys. 124) do poziomej CB prostopadła równa jej BA i poprowadźmy przekątną AC. Kąt ACB będzie zatem połową prostego czyli 45 stopni. Przepołówmy prostopadłą BA w D, to będzie DC tą półparabolą, która ma wyniosłość AD, a wysokość DB; a jej impet w C jest ten sam, jak ciała spadającego ze spoczynku w A wzdłuż AB, w punkcie B. Poprowadźmy AG równoległe do BC; dla wszystkich innych półparabol tegoż samego impetu winny sumy wyniosłości i wysokości mieścić się między AG i BC. Ponieważ dalej dowiedzione zostało, że amplitudy tych półparabol, których styczne jednakowo nad lub pod 45 stopniem są skierowane, są sobie równe, więc rachunek przeprowadzony dla większych nachyleń służyć będzie i dla mniejszych. Przyjmijmy także liczbę dziesięciu tysięcy części, jako największą amplitudę półparaboli opisanej rzutem przy nachyleniu 45°, taka więc będą linia BA i amplituda półparaboli BC. Obieramy zaś liczbę 10000, bo użyjemy do rachunku tablicy stycznych, która daje tę liczbę jako styczną kąta 45 stopni. Przystępując do dzieła, poprowadźmy CE pod kątem ECB większym od kąta ACB (ale zawsze ostrym): mamy nakreślić półparabolę styczną do linii EC, której wyniosłość razem z wysokością ma być równa AB. Z tablicy stycznych weźmiemy długość stycznej BE kąta BCE i ta długość przepołowiona da nam punkt F. Określamy następnie trzecią proporcjonalną do BF i do BI (połowy BC), która koniecznie będzie większa od FA. Niech nią będzie FO. Dla półparaboli więc wpisanej w trójkąt ECB, ze styczną CE i amplitudą CB, otrzymujemy wysokość BF i wyniosłość FO. Ale suma BO przewyższa odległość między równoległymi AG i BC, a tymczasem parabole nie mogą przekraczać tych granic, gdyż tak szukana, jak i parabola DC opisywane są pociskami wyrzucanymi z C z tym samym impetem. Szukać więc należy innej paraboli, podobnej do znalezionej (bo pod kątem BCE mogą być opisane niezliczone podobne do siebie większe lub mniejsze), której suma wyniosłości i wysokości jest równa BA. Niech się więc ma OB do BA jak amplituda BC do CR i otrzymamy CR amplitudę półparaboli opisanej przy nachyleniu kąta BCE, której suma wyniosłości i wysokości mieści się między poziomem! GA i CB, co właśnie było żądane. Postępowanie zatem będzie takie.

Wziąwszy styczną danego kąta BCE, przepoławia się ją i do tej połowy oraz do połowy BC znajduje się trzecią proporcjonalną, którą jest FO. Niech będzie dalej jak OB do BA, tak BC do tej ruchomej amplitudy CR. Weźmy przykład.

Niech kąt ECB ma 50 stopni, styczna jego będzie 11918, a jej połowa BF 5959, połowa BC 5000, trzecia proporcjonalna do obu tych połów 4195, które dodane do BF daje 10154 jako BO. Jak więc OB do BA, czyli jak 10154 do 10000, tak będzie BC, czyli 10000 (obie bowiem są stycznemi kąta 45 stopni) do innej i otrzymamy ruchomą amplitudę BC 9848, podczas gdy BC (największa amplituda) wynosi 10000. Amplitudy całych parabol wynosić będą dwa razy tyle 19696 i 20000. Równie wielka jest amplituda paraboli przy nachyleniu 40 stopni, bo to nachylenie na tyleż się różni od 45 stopni.

SAGREDO: Aby dobrze zrozumieć to dowodzenie, brak mi wiadomości, dlaczego trzecia proporcjonalna do BF i BI ma być (jak mówi autor) koniecznie większa od FA.

SALVIATI: Wniosek ten, jak mi się zdaje, wywiedziony może być w ten sposób. Kwadrat ze średniej z trzech linii proporcjonalnych jest równy prostokątowi z dwóch skrajnych, a więc kwadrat z BI albo z równej do niej BD jest równy prostokątowi z pierwszej skrajnej FB i drugiej, którą należy znaleźć; ta druga skrajna musi być koniecznie większa od FA, bo prostokąt BF na FA jest mniejszy od kwadratu z BD i to właśnie o kwadrat z DF, jak to dowiódł Euklides. Zauważyć należy również, że punkt F, przepoławiający styczną EB, znajdować się będzie w wielu razach ponad punktem A, a raz tylko w tymże punkcie A; w tym zaś przypadku oczywiście cała trzecia proporcjonalna do połowy stycznej i do BI dającej wyniosłość leżeć będzie ponad A. Lecz autor wybrał taki przypadek, kiedy nie było oczywiste, że wzmiankowana trzecia proporcjonalna będzie zawsze większa od FA i że przewyżka ponad F przekroczy równoległą AG. Ale idźmy dalej.

Dobrze by było przy pomocy tej tablicy ułożyć drugą uzupełniającą, dla wysokości takichże półparabol, opisanych z tym samym impetem. Postępowanie będzie następujące.

Zadanie IV. Podanie XIII

Z danych w następującej tablicy amplitud półparabol, przy zachowaniu wspólnego impetu, z jakim każda z nich została opisana, oznaczyć wysokość poszczególnych półparabol.

Niech będzie (rys. 125) dana amplituda BC. Impet zaś, który przyjmujemy, że jest wciąż jednakowy, niech będzie OB, jest to suma wysokości i wyniosłości. Mamy oznaczyć i wydzielić samą wysokość. Ponieważ BO ma być tak podzielone, aby prostokąt z jego części był równy kwadratowi z połowy amplitudy BC, to punkt podziału przypadnie w F. Przepołówmy OB i BC w D i I. Kwadrat więc z IB jest równy prostokątowi BFO, podczas gdy kwadrat z DO równy jest temuż prostokątowi razem z kwadratem z FD. Jeżeli zatem od kwadratu z DO odejmiemy kwadrat z BI, równy prostokątowi BFO, to pozostanie kwadrat z FD, a dodawszy do jego boku FD długość BD, otrzymamy szukaną wysokość BF. Postępuje się zatem w ten sposób. Od kwadratu z połowy BO odejmuje się kwadrat z BI, z reszty wyciąga się pierwiastek kwadratowy, dodaje do niego BD i otrzymuje szukaną wysokość BF. Przykład. Szukamy wysokościpółparaboli opisanej przy 55 stopniach podniesienia. Amplituda z poprzedniej tablicy jest 9396, połowa jej 4698, a kwadrat z tej połowy 22071204; to odjęte od kwadratu z połowy BA, który jest zawsze jednaki, mianowicie 25000000, daje resztę 2928796, z której pierwiastek kwadratowy wynosi prawie 1710. Dodany do połowy BA, to jest do 5000, daje 6710 i taka jest wysokość BF. Nie będzie zbyteczne' ułożenie trzeciej tablicy, zawierającej wysokości i wyniosłości półparabol, mających jednakową amplitudę.

SAGREDO: Tę ostatnią pragnąłbym widzieć, bo z niej mógłbym się dowiedzieć o różnicy w impecie i sile przy jednakowej nośności strzałów, która to różnica musi być bardzo wielka dla różnych podniesień i tak np. przy wyrzucaniu kuli pod nachyleniem 3 lub 4 albo 87 lub 88 stopni, na odległość taką, jak przy nachyleniu 45 stopni (w którym to przypadku wystarcza najmniejszy impet), znalezionoby niezmierną przewyżkę siły.

SALVIATI: Waszmość ma zupełną rację i przekona się, że aby wyśledzić działanie, trzeba wielkimi liczbami iść ku nieskończonymu impetowi. Ale przyjrzyjmy się układowi tablicy.

Zadanie V. Podanie XIV

Znaleźć, dla różnych podniesień, wysokości i wyniosłości półparabol jednakowej amplitudy.

Łatwo rozwiązać to zadanie. Jeżeli bowiem przyjmiemy stałą amplitudę półparaboli równą 10000 częściom, to połowa stycznej któregokolwiek stopnia podniesienia wyrażać będzie wysokość. Gdy np. amplituda półparaboli o podniesieniu 30 stopni wynosi 10000, to wysokość jej będzie 2887, bo tyle prawie wynosi połowa stycznej. Mając wysokość otrzymamy wyniosłość w ten sposób. Ponieważ dowiedziono, że połowa amplitudy półparaboli jest średnią proporcjonalną między wysokością a wyniosłością, a znaną już jest wysokość, i połowa amplitudy wynosi stale 5000, należy więc kwadrat z ostatniej wielkości podzielić przez wysokość, a iloraz da wyniosłość. I tak w przykładzie. Wysokość znaleziono 2887, kwadrat z 5000 wynosi 25000000, co podzielone przez 2887 daje prawie 8659 jako szukaną wyniosłość.

SALVIATI: Widzimy tu najpierw jak prawdziwą jest powyższa uwaga, według której przy różnych podniesieniach, im się ono więcej odchyla w górę lub na dół od średniego, tym większego trzeba impetu i siły, aby rzucić pocisk na tę samą odległość. Albowiem impet z dwóch ruchów się składa, jednostajnego poziomego i przyspieszonego prostopadłego i ten impet staje się miarą sumy wysokości i wyniosłości, a ta suma, jak widzimy w podanej tablicy, jest najmniejsza przy 45 stopniach podniesienia, gdy wysokość i wyniosłość są sobie równe, wynoszą każda 5000, a suma ich 10000. Przy innym podniesieniu np. 50 stopni, otrzymamy wysokość 5959, wyniosłość 4196, a sumę obu 10155. I takiż będzie impet przy 40 stopniach, gdyż to podniesienie jest tak samo oddalone od środkowego. Zaznaczyć przeto należy, że wszystkie impety są równe sobie parami, przy podniesieniach jednakowo oddalonych od środkowego, z tą piękną odmianą, że wysokość i wyniosłość przy podniesieniach większych odpowiadają na odwrót wyniosłości i wysokości przy mniejszych; tak że podczas gdy przy 50 stopniach mamy wysokość 5959 a wyniosłość 4196, to odwrotnie przy 40 stopniach otrzymamy wysokość 4196 a wyniosłość 5959 i tak samo dla wszystkich innych bez żadnego wyjątku. W rachunku opuszczone zostały ułamki, nie mające znaczenia przy wielkich liczbach.

SAGREDO: Zauważę przy tym, że z dwóch impetów, poziomego i prostopadłego, im wyższe będą rzuty, tym mniejszy okaże się poziomy. a tym większy prostopadły. Przeciwnie, przy małym podniesieniu, potrzeba wielkiej siły impetu poziomego przy małej wysokości spadku pocisku. I, jeżeli dobrze rozumiem, że przy całkowitym podniesieniu do 90 stopni, żadna siła na świecie nie wystarczy, aby rzucić pocisk na jeden cal odległości od prostopadłej; lecz pocisk spadnie koniecznie na to miejsce, z którego został wyrzucony, to znów nie mógłbym z tą samą pewnością twierdzić, że przy podniesieniu zero stopni, tj. po linii poziomej nie można by z pewną skończoną siłą rzucić pocisku na pewną odległość. I tak np. nawet śmigownica nie zdołałaby kuli żelaznej wyrzucić poziomo, czyli, jak się mówi, z białego punktu (di punto blanco), tj. bez żadnego podniesienia. Twierdzę, że w tym przypadku pozostaje pewna wątpliwość i nie przeczę stanowczo faktowi, gdyż wstrzymuje mnie inny przypadek, nie mniej godny podziwu, którego posiadam stanowczy dowód. A przypadek ten polega na niemożności absolutnie prostego wyciągnięcia liny, równolegle do poziomu; wygina się ona zawsze i żadną siłą nie można jej wyprostować.

SALVIATI: A więc, mości Sagredo, w tym przypadku ustaje pański podziw tego cudownego skutku, skoro pan posiada dowód. Badając wszakże uważnie, znajdziemy może pewną analogię między przypadkami pocisku i liny. Krzywizna linii rzutu poziomego pochodzi od dwóch sił, z których jedna (siła rzutu) działa poziomo, podczas gdy druga (ciężkość pocisku), działa w kierunku do tamtej prostopadłym. Ale przy wyciąganiu liny działają także dwie siły, pozioma rozciągająca i ciężar liny działający do nią prostopadle. Dość więc podobne są oba przypadki. I skoro pan przyznaje ciężarowi liny tyle potęgi i energii, aby mógł przeciwważać i przezwyciężać jakąkolwiek niezmienną siłę, to dlaczegóż odmawia pan tego ciężarowi kuli? Albo, powiedziałbym lepiej jeszcze, dziwi nas i sprawia nam przyjemność, gdy lina, mocno lub słabo rozciągana, wygina się według linii zbliżonej do paraboli, a to podobieństwo jest tak wielkie, ze jeżeli narysujemy na powierzchni płaskiej, postawionej prostopadle do poziomu, linię paraboliczną i trzymać ją będziemy odwrotnie, tj. zwróconą wierzchołkiem do spodu, a podstawą równoległą do poziomu, i jeżeli przyłożymy cienki łańcuszek utrzymyway na końcach podstawy narysowanej paraboli, to zobaczymy, że się ten łańcuszek ugina i schodzi z tą parabolą; a to schodzenie się tym będzie dokładniejsze, im parabola mniejszą ma krzywinzę, czyli więcej jest rozciągnięta, tak że przy paraboli opisanej z podniesieniem 45 stopni, łańcuch dokładnie (quasi ad unguem) zakrywa parabolę.

 SAGREDO: Można by przeto takim łańcuszkiem, subtelnie wykonanym, wyznaczać szybko na powierzchni płaskiej wiele parabol.

SALVIATI: Można by i to z niemałym pożytkiem, jak o tym zaraz powiem.

SIMPLICIO: Ale zanim pójdziemy dalej, pragnąłbym przekonać się o ścisłości twierdzenia, które podajecie jako stanowczo dowiedzione, mianowicie, że jest niemożebne, z największą nawet siłą, rozciągnąć liny zupełnie prosto, równolegle do poziomu.

 SAGREDO : Postaram się przypomnieć sobie ten dowód, dla zrozumienia którego trzeba, aby p. Simplicio przyjął za rzecz pewną to, co zostało ustalone we wszystkich maszynach, nie tylko doświadczeniem, lecz i teoretycznymi wywodami, mianowicie że nawet najmniejsza prędkość ciała poruszającego jest w stanie przemóc choćby bardzo wielki opór ciała poruszanego, które będzie się wolno poruszać, gdy tylko stosunek prędkości poruszającego do powolności poruszanego będzie większy od stosunku oporu ciała poruszanego do siły poruszającego.

SIMPLICIO: Jest mi to dobrze znane, i dowiedzione zostało przez Arystotelesa w jego zadaniach mechanicznych. Spostrzega się to wyraźnie na drągu, na przezmianie, którego ciężar ruchomy waży tylko 4 funty, a podnosi ciężar 400, gdy tylko odległość ciężaru ruchomego od środka, około którego przezmian się obraca, jest więcej niż sto razy większa od odległości punktu zawieszenia większego ciężaru; a pochodzi to stąd, że ciężar ruchomy, obniżając się, przebywa drogę sto razy większą od drogi, po której się równocześnie podnosi wielki ciężar. Innymi słowy, mały ciężar ruchomy porusza się ze sto razy większą prędkością od wielkiego ciężaru.

SAGREDO : Wybornie rozumujecie i przyznacie niewątpliwie, że jakkolwiek mała będzie siła ciała poruszającego, to jednak pokona jak największy opór, skoro tylko powiększenie prędkości przewyższy ubytek siły i ciężkości. Ale przejdźmy do przypadku liny. A objaśniając na rysunku, (rys. 124) niech linę przedstawia linia AB, przechodząca przez dwa punkty stałe AB, na której końcach są zawieszone wielkie ciężary C, D, które ciągnąc z wielką siłą utrzymają linę wyciągniętą prosto, o ile przyjmujemy ją jako nieważką. Lecz jeżeli w jej środkowym punkcie E zawiesimy jakikolwiek mały ciężar H, to linia AB się ugnie i zejdzie do F, a wydłużając się wskutek tego zmusi do podniesienia się dwa wielkie ciężary C, D: co w ten sposób może być dowiedzione. Z punktów A i B, jako środków, opisujemy dwie ćwiartki koła EFG i ELM; a ponieważ promienie AI i BL są równe AE i EB, to FI i FL będą wydłużeniami tj. przewyżkami AF i FB ponad AE i EB; one zatem wyznaczają podniesienia ciężarów C i D, gdy ciężar H zdoła obniżyć linę do F, to zaś może nastąpić wtedy, gdy stosunek linii EF, tj. obniżenia ciężaru H, do linii FI określającej podniesienie ciężarów C i D, będzie większy od stosunku obu ciężarów C i D do ciężaru H. Ale to nastąpi koniecznie, chociażby ciężary C i D były jak największe, a ciężar H jak najmniejszy. Albowiem przewyżka C i D nad H nie jest tak wielka, aby nie mogła być przedstawiona przez przewyżkę stycznej EF nad kawałkiem siecznej FI. O tym zaś przekonamy się w tym sposób: niech będzie koło o średnicy GI i jaki jest stosunek ciężarów C i D do ciężaru H, taki niech będzie stosunek BO do innej linii C, większej od D, tak że stosunek BO do D będzie większy od stosunku BO do C; weźmy następnie trzecią proporcjonalną do OB i D, mianowicie BE i jak OE do EB, tak niech się ma średnica GI do przedłużenia IF, a przez koniec F poprowadźmy styczną FN. A ponieważ tak się ma OE do EB, jak GI do FI, to będzie się miała suma OB do BE, jak GF do FI. Ale między OB i BE średnią proporcjonalną jest D, a między GF i FI średnią jest NF; więc tak się ma NF do FI, jak OB do D i stosunek ten jest większy od stosunku ciężarów C i D do H. Stosunek więc obniżenia, czyli prędkości ciężaru H, do podniesienia, czyli prędkości ciężarów C i D, jest większy od stosunku ciężarów C i D do ciężaru H; zatem H musi się obniżać, a linia AB odchylać od prostej poziomej. Co zaś dzieje się z nieważką liną AB przy malym obciążeniu w B, to stanie się z ciężką liną bez dodawania innego ciężaru, gdyż zawieszony zostaje ciężar tworzywa samej liny AB.

SIMPLICIO: Zaspokojony jestem zupełnie; a może p. Salviati, stosownie do obietnicy, zechce objaśnić nam pożytek, jaki możemy wyciągnąć z łańcuszka i jednocześnie zakomunikować nam poglądy naszego akademika na siłę uderzenia (forza della percossa).

SALVIATI: Dzień nam zajęły przeprowadzone rozważania, a godzina jest już trochę późna i nie starczyłaby na wyczerpanie wzmiankowanych przedmiotów; odłóżmy przeto rozprawy do innej sposobniejszej chwili.

 SAGREDO : Godzę się na to z Waszmością, gdyż przekonałem się z różnych rozmów z zaufanymi przyjaciółmi naszego Akademika, że przedmiot ten jest bardzo ciemny i nikomu z traktujących o nim dawniej nie udało się zbadać jego tajników, dalekich od zwykłych wyobrażeń; a najdziwniejsze wydaje mi się to, że siła uderzenia jest nieoznaczona, jeżeli nie nieskończenie wielka. Czekać więc będziemy na sposobność pana Salviati. Tymczasem prosiłbym o wiadomość, co teraz następuje w traktacie o pociskach.

SALVIATI: Są tam jeszcze niektóre twierdzenia o środku ciężkości brył, wywiedzione przez naszego Akademika w jego młodych latach, które jak się zdaje, w traktacie, jaki napisał Federigo Comandino, przedstawiały pewne niedokładności. Sądził on, że przez te podania, które zobaczycie napisane, będzie mógł zastąpić to, czego szukał w książce Comandina, a zajął się tym rozważaniem na żądanie prześwietnego margrabiego Guid'Ubaldo del Monte, znakomitego matematyka swego czasu, jak to wykazują różne ogłoszone jego dzieła; temu to panu doręczył odpis i zamierzał rozciągnąć badanie na bryły, którymi się nie zajmował Comandino, ale gdy później znalazł ten sam przedmiot w książce wielkiego geometry pana Luca Valerio i przekonał się, że tenże cały ten przedmiot bez żadnego pominięcia opracował, wtedy przestał się tym zajmować, chociaż co do metody inaczej niż Valerio przedmiot traktował.

SAGREDO: Dobrze więc będzie, aby na czas, jaki upłynie do naszego następnego spotkania, Waszmość zostawił mi książkę, dla przejrzenia i przestudiowania tych podań, jak są napisane.

SALVIATI: Czynię zadość życzeniu Waszmości i spodziewam się, że podania będą się Wam podobały.

Koniec dnia czwartego.

DODATEK

Wydanie Rozmów i dowodzeń matematycznych z 1638 zawierało jeszcze, na stronach 289-305 Appendix, poświęcony zagadnieniom matematycznym.
Wydanie polskie z 1930 zawierało też rozmowy z Dnia Piątego i Szóstego, ogłoszone już po śmierci Galileusza.

strona główna